先說問題二，即“當1<=q<=p<=無窮時，Lp包含於Lq” 首先條件成立的前提是m(E)<∞（m是一般測度空間的測度，不一定侷限於L測度，只是方便打字。E為可測集）。m(E)=∞時的反例下面再給出 證明：只討論p≠q的就行了。對任意f∈Lp， (i)當p=∞時，對任何f∈Lp，f可測且有界a.e.，所以對任何有限的q，|f|^q也可測且有界a.e.。因為m(E)<∞，所以|f|^q可積，即 f∈Lq。 (ii)當p<∞時， ∫E(|f|^q)dm = ∫E(|f|>1)(|f|^q)dm + ∫E(|f|<=1)(|f|^q)dm < ∫E(f>1)(|f|^p)dm + m(E(|f|<=1)) 因為f∈Lp,m(E)<∞。所以第一項與第二項都有限，即f∈Lq。over！！ m(E)=∞的反例：對於p=∞,任意常值函式均可.p=<∞,考察f(x)=x^(-1/2),E取[1，+∞），那麼f∈L4，但f不∈L2。 第一個問題：證明對任意f∈L∞，當p→∞ ，||f||p→||f||∞。 根據上面，只有當m(E)<∞,才能保證對任何f∈L∞，對任何p，f∈Lp,所以一定意義上這個問題也應該加上m(E)<∞的條件，實際上我看過的資料都是加了這個條件的。對於m(E)=∞的情況在最後會說下我簡單的看法 證明：附加前提m(E)<∞。設||f||∞=M。m(E)=0或M=0的情況顯然成立，以下不考慮。 (i)根據本性上確界的可達性，即存在E中的零集E'使得M=sup|f|(在E-E'中)。所以 ∫E(|f|^p)dm = ∫E-E'(|f|^p)dm <= ∫E-E'(M^p)dm = M^p*m(E) 所以 ||f||p <=M*m(E)^1/p,因為m(E)>0,所以當p→∞，m(E)^1/p→1， 即 p→∞，lim(||f||p)<=M（這裡取數列的上極限，因為還沒證明極限存在） (ii)對任意的ε>0，E（f>M-ε)為正測集（否則與||f||∞=M矛盾），所以 ∫E(|f|^p)dm >=∫E(f>M-ε)(|f|^p)dm >=(M-ε)^p*m(E(f>M-ε)) 與(i)的證明類似，可得p→∞，lim(||f||p)>=M-ε(取下極限） 綜合(i)和(ii)即得：p→∞，lim(||f||p)=||f||∞。（這回是正常的極限了） over!! 對於m(E)=∞的情況： 假設f滿足：f∈L1，||f||∞=1，|f|<1 a.e. (例如f=1/x^2，E=[1,+∞）） 那麼顯然對任何p，|f|^p<=|f|,所以f∈Lp,並且|f|^p→0 a.e.根據控制收斂定理，X=∫E(|f|^p)dm→0。而||f||p=X^1/p。就是說p→∞時，||f||p僅與X的收斂速度有關。滿足條件的f應該有很多並且使X有不同的收斂速度。也許例子f=1/x^2的範數收斂到1，但應該還有別的函式不收斂到1。 以上僅是我簡單的看法，可能根本不對。不過一般的泛函書上都只考慮m(E)<∞的情況
先說問題二，即“當1<=q<=p<=無窮時，Lp包含於Lq” 首先條件成立的前提是m(E)<∞（m是一般測度空間的測度，不一定侷限於L測度，只是方便打字。E為可測集）。m(E)=∞時的反例下面再給出 證明：只討論p≠q的就行了。對任意f∈Lp， (i)當p=∞時，對任何f∈Lp，f可測且有界a.e.，所以對任何有限的q，|f|^q也可測且有界a.e.。因為m(E)<∞，所以|f|^q可積，即 f∈Lq。 (ii)當p<∞時， ∫E(|f|^q)dm = ∫E(|f|>1)(|f|^q)dm + ∫E(|f|<=1)(|f|^q)dm < ∫E(f>1)(|f|^p)dm + m(E(|f|<=1)) 因為f∈Lp,m(E)<∞。所以第一項與第二項都有限，即f∈Lq。over！！ m(E)=∞的反例：對於p=∞,任意常值函式均可.p=<∞,考察f(x)=x^(-1/2),E取[1，+∞），那麼f∈L4，但f不∈L2。 第一個問題：證明對任意f∈L∞，當p→∞ ，||f||p→||f||∞。 根據上面，只有當m(E)<∞,才能保證對任何f∈L∞，對任何p，f∈Lp,所以一定意義上這個問題也應該加上m(E)<∞的條件，實際上我看過的資料都是加了這個條件的。對於m(E)=∞的情況在最後會說下我簡單的看法 證明：附加前提m(E)<∞。設||f||∞=M。m(E)=0或M=0的情況顯然成立，以下不考慮。 (i)根據本性上確界的可達性，即存在E中的零集E'使得M=sup|f|(在E-E'中)。所以 ∫E(|f|^p)dm = ∫E-E'(|f|^p)dm <= ∫E-E'(M^p)dm = M^p*m(E) 所以 ||f||p <=M*m(E)^1/p,因為m(E)>0,所以當p→∞，m(E)^1/p→1， 即 p→∞，lim(||f||p)<=M（這裡取數列的上極限，因為還沒證明極限存在） (ii)對任意的ε>0，E（f>M-ε)為正測集（否則與||f||∞=M矛盾），所以 ∫E(|f|^p)dm >=∫E(f>M-ε)(|f|^p)dm >=(M-ε)^p*m(E(f>M-ε)) 與(i)的證明類似，可得p→∞，lim(||f||p)>=M-ε(取下極限） 綜合(i)和(ii)即得：p→∞，lim(||f||p)=||f||∞。（這回是正常的極限了） over!! 對於m(E)=∞的情況： 假設f滿足：f∈L1，||f||∞=1，|f|<1 a.e. (例如f=1/x^2，E=[1,+∞）） 那麼顯然對任何p，|f|^p<=|f|,所以f∈Lp,並且|f|^p→0 a.e.根據控制收斂定理，X=∫E(|f|^p)dm→0。而||f||p=X^1/p。就是說p→∞時，||f||p僅與X的收斂速度有關。滿足條件的f應該有很多並且使X有不同的收斂速度。也許例子f=1/x^2的範數收斂到1，但應該還有別的函式不收斂到1。 以上僅是我簡單的看法，可能根本不對。不過一般的泛函書上都只考慮m(E)<∞的情況