中世紀後期的數學家Oresme在1360年就證明了這個級數是發散的。

他的方法很簡單：

1+1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意後一個級數每一項對應的分數都小於調和級數中每一項，而且後面級數的括號中的數值

和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個，所以後一個級數是趨向無窮大的，進而調和級數也是發，散的。S(2^n)=1+1/2+(1/3+1/4)

+(1/5+1/6+1/7+1/8)

+……

+{1/[2^(n-1)+1]+1/[2^(n-1)+2]+……+1/2^n}

≥1+1/2+1/2+……+1/2

=1+n/2

∴limS(2^n)=+∞

∴∑1/n發散。解：“級數∑1/n，n=1,2，……，∞”是發散的。其證明過程可以是，

∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……+1/8)+(1/9+……+1/16)+(1/17+……+1/32)+……>1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……=1+m/2+……，

當n→∞時，m→∞，1+m/2→∞發散。∴級數∑1/n發散。考慮部分和s(n)=∑(i=1,n)(-1)^(n-1)，易知s(n+1)=s(n)+1（n為奇數）或s(n+1)=s(n)-1（n為偶數），而s(1)=-1^(1-1)=1，因此數列s(n)為1、0、1、0……，一般項週期性變化且不外乎0、1兩個不同的值，於是隨n→∞時s(n)的值不確定，由極限的確定性得lim(n→∞)s(n)不存在，再由級數的定義得原級數發散。

n值越小，1/n2就越大。