萬能公式推導

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，

(因為cos2(α)+sin2(α)=1)

再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]

然後用α/2代替α即可。

同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可透過正弦比餘弦得到。

2和差化積公式推導過程

首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

同理，若把兩式相減，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

同理，兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

這樣，我們就得到了積化和差的公式：

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

有了積化和差的四個公式以後，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式

我們把上述四個公式中的a+b設為x，a-b設為y，那麼a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

3三倍角公式推導

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]

上下同除以cos3(α)，得：

tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)

=3sinα-4sin3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)

=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]

=4cos3(α)-3cosα

即：

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

4n倍角三角函式公式的推導

利用尤拉公式推導

事實上，對於任意n倍角三角函式公式還可以由尤拉公式推導：

cosnA+isinnA=einA=e（iA）n=（cosA+isinA）n

分別由左右兩邊實部和虛部相等，可以推匯出n倍角餘弦和正弦三角函式公式。以三倍角餘弦公式為例，cos3A=C（30）cos3A-C（32）sin2AcosA=cos3A-3sin2AcosA=4cos3A-3cosA

其餘的任意n倍角三角函式公式（包括正弦、餘弦、正切）則都可以由二項式定理相應地寫出來。