1. 幾何意義
在二次平面的一條曲線，我們可以考慮它在每一點的斜率的改變。
假設曲線的方程為y=f(x)。在x=t時，y=f(t)。曲線上的點A的座標為(t,f(t))。考慮把t增大少許。當x=t+h時，y=f(t+h)。曲線上點點的座標為(t+h,f(t+h))。那麼連起A和B的線的斜率就是
(f(t+h)-f(t))/h
當A和B的距離越來越小，也就是說h越來越接近0，那麼AB就越來越接近曲線，也越來越接近曲線在A點的切線的斜率。在此，我們可以接入極限
lim (h->0) (f(t+h)-f(t))/h
這一點就是曲線在A點的切線的斜率。同時，這亦是微分的"first principle"
2. 寫法
一般我們考慮對f(x)微分時，會寫df(x)/dx
3. 性質
你可以嘗試由first principle 得到下列性質
1. d/dx (x^n) = nx^(n-1)
2. d/dx (sinx) = cosx
3. d/dx (cosx) = -sinx
4. d/dx (tanx) = sec^2 x
等等
範例：由first principle證明 d/dx ( sinx) = cosx
d/dx ( sin x)
=lim h->0 (sin(x+h)-sinx)/h
=lim h->0 2cos[(2x+h)/2]sin[h/2]/h (和差化積)
=lim h->0 cos[x+(h/2)]sin[h/2]/(h/2)
=lim h->0 cos[x+(h/2)] * lim h->0 sin[h/2]/[h/2]
=lim h->0 cos[x+(h/2)]
=cosx
上面的 lim h->0 sin [h/2]/[h/2] 是一個很著名的結果，你可以試著證明。
4. 鏈法則 ( Chain rule)
當我們考慮df(y)/dx 的時候，可以怎樣做呢？
我們可以運用鏈法則
du/dx=du/dv * dv/dx
例子：
d/dx ( cos^2 x)
=d(cos^2 x)/d(cosx) * d(cosx)/dx
=2cos x * (-sinx)
=-2sinxcosx
上面就用到了鏈法則，這是細微分
1. 幾何意義
在二次平面的一條曲線，我們可以考慮它在每一點的斜率的改變。
假設曲線的方程為y=f(x)。在x=t時，y=f(t)。曲線上的點A的座標為(t,f(t))。考慮把t增大少許。當x=t+h時，y=f(t+h)。曲線上點點的座標為(t+h,f(t+h))。那麼連起A和B的線的斜率就是
(f(t+h)-f(t))/h
當A和B的距離越來越小，也就是說h越來越接近0，那麼AB就越來越接近曲線，也越來越接近曲線在A點的切線的斜率。在此，我們可以接入極限
lim (h->0) (f(t+h)-f(t))/h
這一點就是曲線在A點的切線的斜率。同時，這亦是微分的"first principle"
2. 寫法
一般我們考慮對f(x)微分時，會寫df(x)/dx
3. 性質
你可以嘗試由first principle 得到下列性質
1. d/dx (x^n) = nx^(n-1)
2. d/dx (sinx) = cosx
3. d/dx (cosx) = -sinx
4. d/dx (tanx) = sec^2 x
等等
範例：由first principle證明 d/dx ( sinx) = cosx
d/dx ( sin x)
=lim h->0 (sin(x+h)-sinx)/h
=lim h->0 2cos[(2x+h)/2]sin[h/2]/h (和差化積)
=lim h->0 cos[x+(h/2)]sin[h/2]/(h/2)
=lim h->0 cos[x+(h/2)] * lim h->0 sin[h/2]/[h/2]
=lim h->0 cos[x+(h/2)]
=cosx
上面的 lim h->0 sin [h/2]/[h/2] 是一個很著名的結果，你可以試著證明。
4. 鏈法則 ( Chain rule)
當我們考慮df(y)/dx 的時候，可以怎樣做呢？
我們可以運用鏈法則
du/dx=du/dv * dv/dx
例子：
d/dx ( cos^2 x)
=d(cos^2 x)/d(cosx) * d(cosx)/dx
=2cos x * (-sinx)
=-2sinxcosx
上面就用到了鏈法則，這是細微分