函式的對稱性和週期性的定義

對稱性分為軸對稱和中心對稱兩種，

若函式 f(x) 關於直線 x=a 對稱，則 f(a+x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x)；

若函式 f(x) 關於點（a,b）中心對稱，則 f(a+x)+f(a-x)=2b 或 f(x)+f(2a-x)=2b;

若函式 f(x) 具有周期T（T>0），則 f(x)=f(x+T)。

若函式 f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則 函式 f(x) 具有周期 T=|a-b|。

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週期性和對稱性的內在聯絡

對於常函式來數，它即是週期函式，也有無數個對稱中心和對稱軸。那麼很自然的我們會有下列問題：

問題1：如果一個函式f(x)既關於直線x=a對稱，又關於直線x=b對稱，函式f(x)會具有什麼樣的性質呢？

問題2：如果一個函式f(x)既關於點（a,b）中心對稱，又關於點（c,d）中心對稱，函式f(x)會具有什麼樣的性質呢？

問題3：一個函式f(x)關於直線x=a對稱，同時又關於點（c,d）中心對稱，那麼函式f(x)會具有什麼樣的性質呢？

問題4：一個函式f(x)有周期T，又有周期S，那麼函式f(x)會具有什麼樣的性質呢？

對於上述問題的答案，我們先給出結果：

結論1：f(x)具有周期T，且T=2|a-b|。

結論2：若b=d，則f(x)具有周期T，且T=2|a-c|。若b不同於d，則f(x)沒有周期。

結論3：若b=d，則f(x)具有周期T，且T=4|a-c|。

結論4：函式f(x)具有周期R，若S和T均為整數，則R=（S,T），即S和T的最大公約數。

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結論的證明和變式

結論1證明：因f(2b-x)=f(x)=f(2a-x)，故週期為2|a-b|。

結論2證明：因f(x)+f(2a-x)=2b，f(x)+f(2c-x)=2d，

若b=d，則 f(2a-x)= f(2c-x)，結論成立。

若b不同於d，則f(2a-x)-f(2c-x)=2b-2d，

令2a-x=t，2a-2c=p，2b-2d=q，則 f(t)-f(t-p)=q，

即週期性不存在。

結論3證明：因f(x)=f(2a-x)，f(x)+f(2c-x)=2d，

則 f(2a-x)+f(2c-x)=2d，令2a-x=t，2a-2c=p，

則 f(t)+f(t-p)=2d，故f(t-p)+f(t-2p)=2d，即f(t)=f(t-2p)，

故週期為4|a-c|。

結論4證明：由輾轉相除法即得。

從上面的證明過程來看，我們會得到另外兩個結論（證明略）：

結論5：若週期為2|a-b| 的函式f(x)關於直線x=a對稱，那麼函式f(x)關於直線x=b對稱。

結論6：若週期為2|a-c| 的函式f(x)關於點（a,b）中心對稱，那麼函式f(x)關於點（c,b）中心對稱。

一般的，我們通常會考慮對稱中心在x軸上的情況。這樣一來，就和函式的奇偶性問題聯絡上了。例如：奇函式 f(x)關於直線x=a對稱，則具有周期4|a|。

此外，具有周期的奇函式還有一個很重要的性質：

若定義在R上的奇函式 f(x) 週期為2T，則f(T)=0。

證明：因 f(T)=f(-T)=-f(T),故f(T)=0。

即奇函式在半週期的位置函式值為0，這與f(0)=0一樣，都是奇函式非常重要的性質。

1、自變數和為常數，說明自變數關於x=1對稱。

函式值和為零說明函式值相反，那麼函式影象關於點（1,0）對稱。

2、自變數和為常數，說明自變數關於x=1對稱。

函式值相同，說明影象關於x=1對稱。

3、自變數差為常數2，說明週期為2，但是還不確定是週期還是反週期。

函式值相反說明，2為反週期。

4、自變數差為常量2，說明週期為2，但是還不確定是週期還是反週期。

函式值相同說明，2為週期。