一言以蔽之：二次型，其實就是雙線性形式的特殊情況，相當於內積的推廣。
考慮域F上的線性空間V（我們在這裡要求F的特徵不等於2，實數和複數都滿足這個要求），一個雙線性形式f(u,v)其實就是V*V（V和自身的笛卡爾積）對映到F上，而且保留線性結構的對映。這是線性對映的非常自然的推廣。V*V不能說是一個線性空間，但它也有很多線性的結構。保留其中一切線性結構，這樣的對映就是雙線性形式。
然後，一個二次型B(u)，實際上與所謂的“對稱雙線性形式”一一對應。對稱雙線性形式，就是滿足f(u,v)=f(v,u)的雙線性形式。給定一個對稱雙線性形式f(u,v)，我們可以構造一個二次型B(u)=f(u,u)。從二次型到對稱雙線性形式比較麻煩：f(u,v)=[B(u+v) - B(u) - B(v)]/2。很容易驗證這兩個構造都是正確的。
那麼，對稱雙線性形式有什麼重要性呢？
實際上，對於實數來說，對稱雙線性形式是內積的一種推廣。容易證明，對稱雙線性形式f(u,v)對應一個對稱矩陣A：f(u,v)=u^Av，這裡u^表示u的轉置（u、v都是列向量）。當A是正定的時候，f(u,v)實際上就是某組特定的基的內積，這由正定對稱矩陣的Choleski分解給出：正定對稱矩陣A可以寫成A=L^L，其中L是一個上三角矩陣。這樣的話，f(u,v)=(u^L^)(Lv)=(Lu)^(Lv)，其實就相當於u和v在透過關於L的基變換之後的內積。當然，L不一定可逆，但這問題不大。這就對應於正定的二次型。
對於一般的二次型來說，它可以整理為標準二次型x_1*x_1 + ... + x_k*x_k - y_1*y_1 - ... - y_m*y_m ，而且這種整理方法（除了變數交換之外）是唯一的。這是因為，它可以分解為兩個子空間上的兩個正定二次型。對於線性空間V上的二次型B(u)，我們考慮一個極大的子空間W+，其中所有元素w都滿足B(w)>0，另一個極大的子空間W0，其中元素w滿足B(w)=0，還有W-就是V對於W+和W0的商。容易證明，W-的所有元素都滿足B(w)<0。那麼，B在W+上的限制就是一個正定二次型，而在W-上的限制就是負定二次型，也就是-1乘以一個正定二次型。那麼，只要在W+和W-上分別對二次型進行Choleski分解，就能得到將二次型整理為標準二次型的方法（由上三角矩陣L給出）。
想清楚二次型相當於內積的推廣之後，它的應用也很明顯了。在一切需要用到內積的地方，都可以用二次型來表達甚至推廣。
比方說在微分幾何中，因為流形的每一個區域性都相當於歐幾里德空間，我們可以用二次型去描述其中的內積，也就是距離和角度的定義。然後，透過考察內積在流形的不同點上的變化，我們就能知道流形的整體幾何性質。在許多領域中，計算一個正定二次型，實際上就是計算向量在經過某個基變換後的長度。對長度和角度的測量在很多時候都很有用，這就是為什麼我們在很多地方都能看到二次型，特別是正定二次型。
一言以蔽之：二次型，其實就是雙線性形式的特殊情況，相當於內積的推廣。
考慮域F上的線性空間V（我們在這裡要求F的特徵不等於2，實數和複數都滿足這個要求），一個雙線性形式f(u,v)其實就是V*V（V和自身的笛卡爾積）對映到F上，而且保留線性結構的對映。這是線性對映的非常自然的推廣。V*V不能說是一個線性空間，但它也有很多線性的結構。保留其中一切線性結構，這樣的對映就是雙線性形式。
然後，一個二次型B(u)，實際上與所謂的“對稱雙線性形式”一一對應。對稱雙線性形式，就是滿足f(u,v)=f(v,u)的雙線性形式。給定一個對稱雙線性形式f(u,v)，我們可以構造一個二次型B(u)=f(u,u)。從二次型到對稱雙線性形式比較麻煩：f(u,v)=[B(u+v) - B(u) - B(v)]/2。很容易驗證這兩個構造都是正確的。
那麼，對稱雙線性形式有什麼重要性呢？
實際上，對於實數來說，對稱雙線性形式是內積的一種推廣。容易證明，對稱雙線性形式f(u,v)對應一個對稱矩陣A：f(u,v)=u^Av，這裡u^表示u的轉置（u、v都是列向量）。當A是正定的時候，f(u,v)實際上就是某組特定的基的內積，這由正定對稱矩陣的Choleski分解給出：正定對稱矩陣A可以寫成A=L^L，其中L是一個上三角矩陣。這樣的話，f(u,v)=(u^L^)(Lv)=(Lu)^(Lv)，其實就相當於u和v在透過關於L的基變換之後的內積。當然，L不一定可逆，但這問題不大。這就對應於正定的二次型。
對於一般的二次型來說，它可以整理為標準二次型x_1*x_1 + ... + x_k*x_k - y_1*y_1 - ... - y_m*y_m ，而且這種整理方法（除了變數交換之外）是唯一的。這是因為，它可以分解為兩個子空間上的兩個正定二次型。對於線性空間V上的二次型B(u)，我們考慮一個極大的子空間W+，其中所有元素w都滿足B(w)>0，另一個極大的子空間W0，其中元素w滿足B(w)=0，還有W-就是V對於W+和W0的商。容易證明，W-的所有元素都滿足B(w)<0。那麼，B在W+上的限制就是一個正定二次型，而在W-上的限制就是負定二次型，也就是-1乘以一個正定二次型。那麼，只要在W+和W-上分別對二次型進行Choleski分解，就能得到將二次型整理為標準二次型的方法（由上三角矩陣L給出）。
想清楚二次型相當於內積的推廣之後，它的應用也很明顯了。在一切需要用到內積的地方，都可以用二次型來表達甚至推廣。
比方說在微分幾何中，因為流形的每一個區域性都相當於歐幾里德空間，我們可以用二次型去描述其中的內積，也就是距離和角度的定義。然後，透過考察內積在流形的不同點上的變化，我們就能知道流形的整體幾何性質。在許多領域中，計算一個正定二次型，實際上就是計算向量在經過某個基變換後的長度。對長度和角度的測量在很多時候都很有用，這就是為什麼我們在很多地方都能看到二次型，特別是正定二次型。