題主問的這個，就是“量子化學”，即量子力學在化學中的應用。在很大程度上，這就是我的專業。

傳統上，一提到化學家，人們的印象就是一個穿白大褂的，搗鼓各種燒杯試管，把五顏六色的試劑倒來倒去，產生各種炫目的反應，還不時地造成一場爆炸。

但這種“刻板印象”早就過時了。實際上，現在有大量的化學家是不做實驗的。他們的研究手段是理論模擬，研究工具就是紙和筆，以及計算機。你如果到世界各個大學的化學系的主頁去看看，會發現幾乎所有的化學系都有這樣的“計算化學家”。甚至有些大學，專門成立了一個單獨的計算化學系。

在量子力學中，描述微觀世界的基本方程叫做薛定諤方程。薛定諤方程的形式，是一個本徵值方程Hψ = Eψ，這其中ψ是體系的“波函式”，表示體系的狀態，H是“哈密頓算符”，表示體系的能量寫成什麼函式形式，E是體系的能量。

薛定諤

大家公認，薛定諤方程決定了原子、分子、固體等日常可見的物質的性質。也就是說，整個化學的內容，在原則上都來自薛定諤方程。

那麼，只要把薛定諤方程解出來，就解決問題了吧？

但麻煩就在這裡。如果一個體系包含多於一個電子（顯然絕大多數體系都是如此，只有氫原子、氦正離子等屈指可數的幾個體系只包含一個電子），那麼哈密頓算符H中包含電子與電子之間的靜電排斥。這就涉及到兩個電子的座標，因為兩個電荷之間的靜電能反比於它們的距離。這樣一來，這個方程就無法“分離變數”了，你不能把解寫成一個關於電子的函式乘以一個關於電子2的函式，只能寫成一個整體的函式。

這就造成了巨大的困難，對絕大多數實際體系，求解薛定諤方程成了一個非常有技術含量的問題。

精確求解不可能，人們就開始想近似的方法。量子化學這門學科的主體內容，就是各種各樣有效求解薛定諤方程的近似方法，包括價鍵理論、分子軌道理論、密度泛函理論、量子蒙特卡洛方法等等。

現在這些方法已經可以相當高的精度了，對有些問題，甚至可以比實驗的精度還高。當然，對大多數問題還沒有達到這種水平，量子化學的理論發展仍然是一個活躍的研究領域。

最簡單的分子是氫分子，氫分子是由兩個氫原子構成的。

每個氫原子有一個質子和一個電子，於是氫分子就有兩個質子和兩個電子。我們需要研究的是一個四體問題，四體問題嚴格說是無解的，這個對經典力學也是。

所以這裡重要的是要取近似，對合適的問題取合適的近似是物理學的本質。

這裡我們要考慮一個因素：質子的質量比電子的質量要大的多，因此質子的運動相比較於電子來說就很緩慢，舉個極端的例子，一個人和地球構成了一個兩體系統，地球的質量比人大的多，在這個極端的情況下，我們只研究人的運動，地球可以看做是靜止的。

當然質子的質量和電子的質量相比沒有大那麼多，但我們在這裡仍然要大膽地取這個近似，假設兩個質子的位置是固定不動的（假設二者間的距離是R），然後在此前提下研究兩個電子的運動。

量子力學研究的是波函式，波函數里麵包含了物理系統所有的資訊。要研究兩個電子的運動，就要寫出兩個電子的波函式。

電子是費米子，根據量子力學的全同性原理，兩個電子的波函式應該是交換反對稱的：ψ(1,2)=-ψ(2,1)，即交換兩個電子的引數的話，波函式應該有一個負號。

在氫原子中我們需要用四個量子數：n，l，m，和sz來描述氫原子中電子的波函式。這裡nlm描述的是三維空間中的運動，而sz描述的是自旋空間中的運動。

換句話說一個電子的波函式可以看做是兩部分的乘積：

總的波函式=空間部分波函式x自旋部分的波函式

類似地我們可以猜測兩個電子的波函式仍然可以寫成如上的形式。如果我們要求總的波函式交換反對稱的話，那麼就有兩種情況：

一種是空間部分交換反對稱，而自旋部分交換對稱；

另一種是空間部分交換對稱，而自旋部分交換反對稱。

如果是畫成圖示的話，就是如下的樣子：

我們可以發現如果空間部分波函式是對稱的話，電子波函式在兩個質子之間出現的機率就會增大，此時“質子-兩個電子-質子”這樣的空間構型是穩定的，簡單說這就是兩個正電從兩邊夾住了兩個負電，當然會有有效的吸引。

此時系統的能量是可以計算的，我們可以分別計算空間部分波函式對稱和空間部分波函式反對稱兩種情況，並比較它們的能量，我們發現前者的能量更低，換句話說空間部分波函式對稱的結構更穩定。

此時還有一個因素R有待確定，因為兩個質子間的距離還是可以緩慢變化的，但好在我們計算出的能量U(R)裡已經包含這個引數R了，我們發現U(R)和R的關係是這樣的，恰好有個最小值，此時對應R的位置就是氫分子中兩個氫原子核之間的距離，大約是0.74埃。

小結一下：我們現在就建立了最簡單的分子——氫分子——的量子力學理論，這裡兩個電子自旋部分波函式是交換反對稱的（即兩個電子自旋相反），而兩個電子空間部分波函式則是交換對稱的。這樣的狀況就叫兩個電子配對，此時氫原子和氫原子的距離只能在0.74埃，我們就說氫原子和氫原子透過共享電子形成了化學鍵，鍵長是0.74埃，另外我們還發現要把兩個氫原子逐漸拉開到無窮，我們需要對氫分子作功，這個數值根據計算是4.52eV，這就是所謂鍵能。氫分子比較簡單，不涉及鍵角，對三原子分子還可能涉及到鍵角的計算，反正都是引數，我們只要用量子力學計算在什麼角度系統能量最低即可。

以上計算就是最簡單的量子化學計算，我們還可以推廣至更復雜的系統，並計算出相應體系內化學鍵的鍵長，鍵角與鍵能等資料。值得一提的是這些計算是可以與實驗比較的，當然有誤差，但確實能定量地解釋分子結構，此外我們要記住我們從一開始就是做了近似的，如果要改善精度，與實驗結果更接近，可能就需要改善我們的近似。

但是非去做這個事情，完全看你拿這個計算來幹什麼？如果沒有特別的好處，物理學家是懶得去做這種改進的，但如果有了更精確的數值結果就意味著可以設計新的藥物，大家還是有動力去改進近似和演算法的。