在數學分析裡，我們知道有界閉區間上的連續函式有界，且可以達到最大值和最小值。這個性質可以推廣到歐式空間 R^n(Euclidean space)裡的有界閉集上。而緊集（compact set），就是歐式空間裡有界閉集在更一般空間上的推廣，使得連續函式也能在該集合上取到最值。
在平時經常還會遇到列緊，準緊，相對緊等不同的名詞，它們有什麼區別嗎，跟緊（compactness）又有什麼聯絡呢？
先從緊集的定義說起。
在拓撲空間 （topological space）中，如果集合M的每個開覆蓋都有有限子覆蓋，我們稱 M 是緊的。
注：這裡開覆蓋的有限子覆蓋意思是，覆蓋 M 的任一族開集裡，總可以找到有限個開集覆蓋 M。有時緊集也稱緊空間。
有結論：緊集在連續對映下的像也是緊的。根據這個，就可以證明連續函式在緊集上取最值的性質。而實際上，數學分析裡該性質的證明，是運用集合的列緊性（自列緊）：
在度量空間（metric space）X上，如果子集A中的任何點列在X 中有一收斂的子列，則稱A 是列緊的（sequentially compact），如果該子列收斂到A裡，則稱A自列緊。
注：如果全空間X列緊，則也自列緊，稱作列緊空間。
可以看到，列緊的定義，用到了序列極限的概念，需要用到距離，所以是在度量空間裡。而每個度量空間自然是拓撲空間，這時，就有一個很重要的結果：
緊=自列緊
舉例子：R^n中的有界子集是列緊的，有界閉集是自列緊的，即緊集，反之也成立。一般地，在有限維賦範空間（Finite dimensional normed space）（可以看作特殊的度量空間）裡，有界集等價於列緊，有界閉集等價於緊。但一般的度量空間裡，只能得到結論：緊集一定是有界閉集，反之不一定。
在拓撲空間裡，如果一個子集的閉包是緊的，我們稱該集合準緊（precompact）,也稱相對緊（relatively compact ）。
總結下，在美好的歐式空間 R^n，既是有限維賦範空間，自然是度量空間，也是拓撲空間。於是乎就有：
任何有界子集=列緊=準緊（相對緊）
任何有界閉集=自列緊=緊
在數學分析裡，我們知道有界閉區間上的連續函式有界，且可以達到最大值和最小值。這個性質可以推廣到歐式空間 R^n(Euclidean space)裡的有界閉集上。而緊集（compact set），就是歐式空間裡有界閉集在更一般空間上的推廣，使得連續函式也能在該集合上取到最值。
在平時經常還會遇到列緊，準緊，相對緊等不同的名詞，它們有什麼區別嗎，跟緊（compactness）又有什麼聯絡呢？
先從緊集的定義說起。
緊集在拓撲空間 （topological space）中，如果集合M的每個開覆蓋都有有限子覆蓋，我們稱 M 是緊的。
注：這裡開覆蓋的有限子覆蓋意思是，覆蓋 M 的任一族開集裡，總可以找到有限個開集覆蓋 M。有時緊集也稱緊空間。
有結論：緊集在連續對映下的像也是緊的。根據這個，就可以證明連續函式在緊集上取最值的性質。而實際上，數學分析裡該性質的證明，是運用集合的列緊性（自列緊）：
列緊在度量空間（metric space）X上，如果子集A中的任何點列在X 中有一收斂的子列，則稱A 是列緊的（sequentially compact），如果該子列收斂到A裡，則稱A自列緊。
注：如果全空間X列緊，則也自列緊，稱作列緊空間。
可以看到，列緊的定義，用到了序列極限的概念，需要用到距離，所以是在度量空間裡。而每個度量空間自然是拓撲空間，這時，就有一個很重要的結果：
緊=自列緊
舉例子：R^n中的有界子集是列緊的，有界閉集是自列緊的，即緊集，反之也成立。一般地，在有限維賦範空間（Finite dimensional normed space）（可以看作特殊的度量空間）裡，有界集等價於列緊，有界閉集等價於緊。但一般的度量空間裡，只能得到結論：緊集一定是有界閉集，反之不一定。
準緊在拓撲空間裡，如果一個子集的閉包是緊的，我們稱該集合準緊（precompact）,也稱相對緊（relatively compact ）。
總結下，在美好的歐式空間 R^n，既是有限維賦範空間，自然是度量空間，也是拓撲空間。於是乎就有：
任何有界子集=列緊=準緊（相對緊）
任何有界閉集=自列緊=緊