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1 # 大海4231207040277
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2 # Xunsung
三種類型
被 積 函 數 為 P n ( x ) e k x 、 P n ( x ) s i n α x 、 P n ( x ) c o s α x 等 形 式 被積函數為P_n(x)e^{kx}、P_n(x)sin\alpha x、P_n(x)cos\alpha x等形式被積函數為P
n
(x)e
kx
、P
n
(x)sinαx、P
n
(x)cosαx等形式，一 般 取 u = P n ( x ) 一般取u=P_n(x)一般取u=P
n
(x)
被 積 函 數 為 e a x s i n b x 、 e a x c o s b x 時 ， 可 取 兩 因 子 任 一 為 u 被積函數為e^{ax}sinbx、e^{ax}cosbx時，可取兩因子任一為u被積函數為e
ax
sinbx、e
ax
cosbx時，可取兩因子任一為u
被 積 函 數 P n ( x ) l n x 、 P n ( x ) a r c s i n x 、 P n ( x ) a r c t a n x 時 被積函數P_n(x)lnx、P_n(x)arcsinx、P_n(x)arctanx時被積函數P
n
(x)lnx、P
n
(x)arcsinx、P
n
(x)arctanx時，一 般 取 u 為 除 P n ( x ) 外 的 另 一 部 分 一般取u為除P_n(x)外的另一部分一般取u為除P
n
(x)外的另一部分
3.2 快捷方法 - 表格法
∫ u v n + 1 = u v ( n ) − u ′ v ( n − 1 ) + u ′ ′ v ( n − 2 ) − . . . \int uv^{n+1}=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+u''v^{(n-2)}-...∫uv
n+1
=uv
(n)
−u
′
v
(n−1)
+u
′′
v
(n−2)
−...+ ( − 1 ) n u ( n ) v + ( − 1 ) n + 1 ∫ u ( n + 1 ) v d x +(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx+(−1)
n
u
(n)
v+(−1)
n+1
∫u
(n+1)
vdx，具 體 地 ： 具體地：具體地：
1 ） 對 於 第 一 種 情 況 ： e g . ∫ ( x 3 + 2 x + 6 ) e 2 x d x 1）對於第一種情況：eg.\int(x^3+2x+6)e^{2x}dx1）對於第一種情況：eg.∫(x
3
+2x+6)e
2x
dx
列 表 ： 列表：列表：
x 3 + 2 x + 6 ， 3 x 2 + 2 ， 6 x ， 6 ， 0 x^3+2x+6，3x^2+2，6x，\ \ \ \ \ \ 6，\ \ \ \ \ 0x
3
+2x+6，3x
2
+2，6x， 6， 0
e 2 x ， 1 2 e 2 x ， 1 4 e 2 x ， 1 8 e 2 x ， 1 16 e 2 x e^{2x}，\ \ \ \ \ \frac12e^{2x}，\ \ \ \ \ \frac14e^{2x}，\frac18e^{2x}，\frac1{16}e^{2x}e
2x
，
2
1
e
2x
，
4
1
e
2x
，
8
1
e
2x
，
16
1
e
2x
則 I = ∫ ( x 3 + 2 x + 6 ) e 2 x d x 則I=\int(x^3+2x+6)e^{2x}dx則I=∫(x
3
+2x+6)e
2x
dx=( x 3 + 2 x + 6 ) 1 2 e 2 x (x^3+2x+6)\frac12e^{2x}(x
3
+2x+6)
2
1
e
2x
− ( 3 x 2 + 2 ) 1 4 e 2 x -(3x^2+2)\frac14e^{2x}−(3x
2
+2)
4
1
e
2x
+ 6 x 1 8 e 2 x +6x\frac18e^{2x}+6x
8
1
e
2x
− 6 ⋅ 1 16 e 2 x + ∫ 0 ⋅ 1 16 e 2 x d x -6\cdot\frac1{16}e^{2x}+\int 0 \cdot \frac1{16}e^{2x}dx−6⋅
16
1
e
2x
+∫0⋅
16
1
e
2x
dx= ( 1 2 x 3 − 3 4 x 2 + 7 4 x + 17 8 ) e 2 x + C =(\frac12x^3-\frac34x^2+\frac74x+\frac{17}8)e^{2x}+C=(
2
1
x
3
−
4
3
x
2
+
4
7
x+
8
17
)e
2x
+C
2 ） 對 於 第 二 種 情 況 ： e g . I = ∫ e 2 x s i n 3 x d x 2）對於第二種情況：eg.I=\int e^{2x}sin3xdx2）對於第二種情況：eg.I=∫e
2x
sin3xdx.
列 表 ： 列表：列表：
s i n 3 x ， 3 c o s 3 x ， − 9 s i n 3 x sin3x，3cos3x，-9sin3xsin3x，3cos3x，−9sin3x
e 2 x ， 1 2 e 2 x ， 1 4 e 2 x \ e^{2x}，\ \ \ \ \ \ \frac12e^{2x}，\ \ \ \ \ \ \frac14e^{2x} e
2x
，
2
1
e
2x
，
4
1
e
2x
I = s i n 3 x ( 1 2 e 2 x ) − 3 c o s 3 x ( 1 4 e 2 x ) + ∫ ( − s i n 3 x ⋅ 1 4 e 2 x ) I=sin3x(\frac12e^{2x})-3cos3x(\frac14e^{2x})+\int(-sin3x\cdot \frac14e^{2x})I=sin3x(
2
1
e
2x
)−3cos3x(
4
1
e
2x
)+∫(−sin3x⋅
4
1
e
2x
)= ( 1 2 s i n 3 x − 3 4 c o s 3 x ) e 2 x ⋅ 4 13 + C =(\frac12sin3x-\frac34cos3x)e^{2x}\cdot \frac4{13}+C=(
2
1
sin3x−
4
3
cos3x)e
2x
⋅
13
4
+C.
3 ） 對 於 第 三 種 情 況 ： e g . I = ∫ a r c t a n x d x 3）對於第三種情況：eg.I=\int arctanxdx3）對於第三種情況：eg.I=∫arctanxdx
列 表 ： 列表：列表：
a r c t a n x ， 1 x 2 + 1 arctanx，\frac1{x^2+1}arctanx，
x
2
+1
1
1 ， x \ \ \ \ \ \ 1，\ \ \ \ \ \ \ \ x 1， x
I = x a r c t a n x − ∫ x x 2 + 1 d x = x a r c t a n x − 1 2 l n ( 1 + x 2 ) + C I=xarctanx-\int\frac{x}{x^2+1}dx=xarctanx-\frac12ln(1+x^2)+CI=xarctanx−∫
x
2
+1
x
dx=xarctanx−
2
1
ln(1+x
2
)+C.
4. 有理函數積分法
形 如 ∫ P n ( x ) Q m ( x ) d x （ n < m ） 形如\int\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx（n<m）形如∫
Q
m
(x)
P
n
(x)
dx（n<m）的 積 分 稱 為 有 理 函 數 的 積 分 的積分稱為有理函數的積分的積分稱為有理函數的積分，其 中 分 子 是 x 的 n 次 多 項 式 ， 分 母 是 x 的 m 次 多 項 式 其中分子是x的n次多項式，分母是x的m次多項式其中分子是x的n次多項式，分母是x的m次多項式.
分 解 的 基 本 原 則 ： 分解的基本原則：分解的基本原則：
Q m ( x ) 的 k 重 因 式 ( a x + b ) k 產 生 k 項 ， 分 別 為 A 1 a x + b + A 2 ( a x + b ) 2 + . . . A k ( a x + b ) k Q_m(x)的k重因式(ax+b)^k產生k項，分別為\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+...\frac{A_k}{(ax+b)^k}Q
m
(x)的k重因式(ax+b)
k
產生k項，分別為
ax+b
A
1
+
(ax+b)
2
A
2
+...
(ax+b)
k
A
k
Q m ( x ) 的 k 重 因 式 ( p x 2 + q x + r ) k 產 生 k 項 ， 分 別 為 Q_m(x)的k重因式(px^2+qx+r)^k產生k項，分別為Q
m
(x)的k重因式(px
2
+qx+r)
k
產生k項，分別為A 1 x + B 1 ( p x 2 + q x + r ) + A 2 x + B 2 ( p x 2 + q x + r ) 2 + . . + A k x + B k ( p x 2 + q x + r ) k \frac{A_1x+B_1}{(px^2+qx+r)}+\frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2}+..+\frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k}
(px
2
+qx
+qx+r)
2
A
2
x+B
2
+..+
(px
2
+qx+r)
k
A
k
x+B
k
dx
回覆列表
積分是微分的逆運算，即知道了函數的導函數，反求原函數。在應用上，積分作用不僅如此，它被大量應用於求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的。
主要分為定積分、不定積分以及其他積分。積分的性質主要有線性性、保號性、極大值極小值、絕對連續性、絕對值積分等。
擴展資料
定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。
這裡應注意定積分與不定積分之間的關系：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函數表達式，它們僅僅在數學上有一個計算關系（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關系都沒有。
一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函數，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。