二重極限是任意方向趨近，累次極限可以看成是其中兩條趨近路線，即先沿X(Y)趨向Y(X)軸，再沿Y(X)軸趨向於原點。舉例說明：f(x,y)=x*sin(1/xy)，二重極限存在為0。

二重極限通俗地說,x和y的積分攪和在一起了；而累次極限將兩者分開處理（各個擊破），先y後x或先x後y，區別主要看積分區域的兩邊，平行y軸選前者，否則，另外，還要注意積分函數為1的情形。

擴展資料：

對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變量，確認此變量通過無限變化過程的’影響‘趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量；用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。

極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：“數學分析是一門什麼學科?”那麼可以概括地說：“數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。

如果

二重極限是

lim_{x->a,y->b}f(x,y),

二次極限分別為

lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] = lim_{x->a}g(x),

和

lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] = lim_{y->b}h(y).

其中，g(x) = lim_{y->b}f(x,y), h(y) = lim_{x->a}f(x,y), a, b是常數。

則，

二重極限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 存在，意味著，當2元變量(x,y)以任何可能的方式->(a,b)時，f(x,y)的極限都存在。

換句話說，若二重極限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 存在，則，2維動點(x,y)沿任何可能的路徑逼近2維定點(a,b)時，f(x,y)的極限都存在。

二次極限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] = lim_{x->a}g(x) 存在,表示當2元變量(x,y)先沿直線x=X 逼近(X,b)[也就是(x,y)->(x,b)],然後再沿直線y=b逼近(a,b)時[也就是(x,b)->(a,b)]，f(x,y)的極限存在。

換句話說，若二次極限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] = lim_{x->a}g(x)存在，則，2維動點(x,y)先沿垂直於x軸的直線路徑逼近2維點(x,b),然後再沿平行於x軸的直線路徑逼近2維定點(a,b)時，f(x,y)的極限存在。

二次極限 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] = lim_{y->b}h(y) 存在,表示當2元變量(x,y)先沿直線y=Y 逼近(a,Y)[也就是(x,y)->(a,y)],然後再沿直線x=a逼近(a,b)時[也就是(a,y)->(a,b)]，f(x,y)的極限存在。

換句話說，若二次極限 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] = lim_{y->b}h(y)存在，則，2維動點(x,y)先沿垂直於y軸的直線路徑逼近2維點(a,y),然後再沿平行於y軸的直線路徑逼近2維定點(a,b)時，f(x,y)的極限存在。

這樣，

1),若二重極限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 存在且等於A, 則二次極限

lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] 和 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] 一定都存在且都等於A.

比如，lim_{x->0,y->0}(xy) = 0, 而且，顯然 lim_{x->0}[lim_{y->0}(xy)] 和 lim_{y->0}[lim_{x->0}(xy)] ] 也都存在，且都等於0。

2), 若二次極限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] 或者 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] 中至少有1個不存在，則，若二重極限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 一定不存在。

比如，lim_{x->0}[lim_{y->0}(y/x)] = 0, 但 lim_{y->0}[lim_{x->0}(y/x)] ] 不存在。則，lim_{x->0,y->0}(y/x) 一定不存在。

3), 若二次極限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] 和 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] 都存在但不等於，則，若二重極限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 一定不存在。

比如，lim_{x->0}[lim_{y->0}( y(x+1)/(x+y) )] = 0, lim_{y->0}[lim_{x->0}( y(x+1)/(x+y) )] = 1。則，lim_{x->0,y->0}( y(x+1)/(x+y) ) 一定不存在。

4), 即使二次極限 lim_{x->a}[lim_{y->b}f(x,y)] 和 lim_{y->b}[lim_{x->a}f(x,y)] 都存在且等於，也不能保證，二重極限 lim_{x->a,y->b}f(x,y) 一定存在。

比如，lim_{x->0}[lim_{y->0}( yx/(x^2 + y^2) )] = 0, lim_{y->0}[lim_{x->0}( yx/(x^2 + y^2) )] = 0。但，lim_{x->0,y->0}( yx/(x^2 + y^2) ) 不存在。 因為，如果lim_{x->0,y->0}( yx/(x^2 + y^2) ) 存在的話，那麼(x,y)沿任何可能的路徑逼近(0,0)時，極限都應該存在而且極限都應該等於0。而(x,y)沿直線x=y逼近(0,0)時，( yx/(x^2 + y^2) )恆等於1/2,不等於0。所以，lim_{x->0,y->0}( yx/(x^2 + y^2) ) 一定不存在。

其實，2元函數的二重極限和二次極限之間的關系有點像1元函數的極限和左右極限的關系。

2元函數的二重極限存在，則2個二次極限都存在且都等於二重極限。

1元函數的極限存在，則左右極限都存在且都等於極限。

若2元函數的二次極限中至少有1個不存在，則，二重極限一定不存在。

若1元函數的左右極限中至少有1個不存在，則，極限一定不存在。

若2元函數的二次極限都存在但不相等，則，二重極限一定不存在。

若1元函數的左右極限都存在但不相等，則，極限一定不存在。

即使2元函數的二次極限都存在且相等，也不能保證，二重極限一定存在。

若1元函數的左右極限都存在且相等，則，極限一定存在且等於左右極限。

只有最後一條不同，因為在1維的時候，1維動點的所有可能的逼近路徑只有2個，從左邊逼近[左極限]和從右邊逼近[右極限]。所以只要左右極限都存在且相等了，就保證了所有可能的逼近的路徑的極限都存在且相等了。因此，在這種情況下，極限就存在且等於左右極限了。

但，在2維的時候，2維動點的所有可能的逼近路徑都非常多了，可以從上面逼近，可以從下面逼近，可以從左邊，從右邊，從左下，右上等等不同的方向逼近，而且逼近的路徑也有很多變化，可以沿直線逼近，還可以沿曲線逼近。所以，在討論2元函數的極限時，就不能像1元函數那樣用窮舉的方式[只要判斷左右極限]來進行了。因為2維動點的所有可能的逼近路徑有無窮多個，無法窮舉。

反過來看，這也有好處。當要肯定一個結論非常困難的時候，可能否定它就相對容易一些。2元函數的極限的這種特點，用來判斷二重極限不存在就很方便了。只要找到1條可能的逼近路徑，極限不存在，就可以認定二重極限不存在。或者只要找到2條可能的逼近路徑，他們的極限不相等，也可以認定二重極限不存在。

最後，以上討論當 a,b,A中包含有無窮大時，也有類似的結論。

設P=f(x,y),P0=(a,b) ,當P→P0 時f(x,y)的極限是x,y同時趨向於a,b時所得到的稱為二重極限.

此外,我們還要討論x,y先後相繼地趨於a,b時的極限,稱為二次極限.

注意以下幾種情形： ’

(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在

(2)兩個二次極限存在而不相等

(3)兩個二次極限存在且相等,但二重極限仍可能不存在.