簡介
權方和不等式
是一個數學中重要的不等式。
形式
對於xi，yi>0，當m(m+1）>0時：
(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)≤{[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.
m(m+1）=0時：
(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)={[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.
m(m+1）<0時：
(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)≥{[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.
其中n是正整數。
取等號的條件：x/y=x/y=x/y=…………=x/y=……=x/y.
證明
其證明需要用到赫爾德（Holder）不等式.
赫爾德不等式
（特殊情形）
對於實數p和q，若p≥1，q<+∞，且1/p+1/q=1.
則對於所有實數或複數a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn
恆有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+……+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)]
當且僅當a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時，等號成立。
第一式證明
：因為m(m+1）>0，所以m>0或m<-1.
設ai=xi/yi^[m/(m+1）] bi=yi^[m/(m+1）]
p=m+1 q=(m+1）/m
m>0時，p>1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以對於ai、bi>0，恆有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+………+|aibi|+…+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……..……+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+……....……+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)]
也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+
[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^[1/(m+1）]
*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1）]}
不等式兩邊同時取（m+1）次冪，得到：
（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+
[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}*
（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m
不等式兩邊同除（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m，就得到
（x1+x2+x3+……+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.得證.
另設ai=yi/xi^[(m+1）/m],bi=xi^[(m+1）/m]
p=-m q=m/(m+1）
當m1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)].
也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1）/m]
*{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^(-1/m).
不等式兩邊同時做m次冪，此時不等號方向改變：
（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）
*{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^(-1）
不等式兩邊取倒數（不等號方向改變）再同乘（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1），即得：
（x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.
第一式得證。
第二式證明
m就-1和0兩種取值。
m=0時，原式簡化為x1+x2+x3+…………+xi+……+xn=x1+x2+x3+…………+xi+……+xn顯然成立；
m=-1時，原式簡化為y1+y2+y3+…………+yi+……+yn=y1+y2+y3+…………+yi+……yn顯然成立.
第二式得證。
第三式證明
設ai=yi^(-m),bi=xi^(m+1）.
p=-1/m,q=1/(m+1）.
當m(m+1）m>-1.
此時p>1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
也就是[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]≤[(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）]/[(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m].
第三式得證。
證畢.
取等號的條件
赫爾德不等式取等號的條件是：
當且僅當a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時等號成立。
所以第一式中，取等號的條件分別是：
m>0時候：
x1^(m+1）/y1^(m+1）=x2^(m+1）/y2^(m+1）=x3^(m+1）/y3^(m+1）=…………=
xi^(m+1）/yi^(m+1）=……=xn^(m+1）/yn^(m+1）.
m<-1時候：
x1^m/y1^m=x2^m/y2^m=x3^m/y3^m=…………=xi^m/yi^m=……=xn^m/yn^m.
第三式中，取等號的條件是：
0>m>-1時候：
y1/x1=y2/x2=y3/x3=…………=yi/xi=……=yn/xn.
由於xi、yi都是正數（也正因為這樣，利用赫爾德不等式證明權方和不等式時才能把絕對值符號去掉），所以可以分別通過開（m+1）、m、-1次方簡化為：
x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn時等號成立。
其他信息
進一步說明
權方和不等式是在高中競賽中很有用的一個不等式，常用來處理分式不等式。
它和赫爾德不等式的這個特殊情形是等價關係。
其中m稱為不等式的權，特點是分子次數比分母高一次。
應用
可用於處理分式不等式、放縮求最值（極值）、證明不等式等方面，對高中數學競賽有幫助。
簡介
權方和不等式
是一個數學中重要的不等式。
權方和不等式
形式
對於xi，yi>0，當m(m+1）>0時：
(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)≤{[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.
m(m+1）=0時：
(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)={[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.
m(m+1）<0時：
(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)≥{[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.
其中n是正整數。
取等號的條件：x/y=x/y=x/y=…………=x/y=……=x/y.
證明
其證明需要用到赫爾德（Holder）不等式.
赫爾德不等式
（特殊情形）
對於實數p和q，若p≥1，q<+∞，且1/p+1/q=1.
則對於所有實數或複數a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn
恆有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+……+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)]
當且僅當a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時，等號成立。
第一式證明
：因為m(m+1）>0，所以m>0或m<-1.
設ai=xi/yi^[m/(m+1）] bi=yi^[m/(m+1）]
p=m+1 q=(m+1）/m
m>0時，p>1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以對於ai、bi>0，恆有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+………+|aibi|+…+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……..……+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+……....……+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)]
也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+
[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^[1/(m+1）]
*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1）]}
不等式兩邊同時取（m+1）次冪，得到：
（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+
[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}*
（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m
不等式兩邊同除（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m，就得到
（x1+x2+x3+……+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.得證.
另設ai=yi/xi^[(m+1）/m],bi=xi^[(m+1）/m]
p=-m q=m/(m+1）
當m1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以對於ai、bi>0，恆有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)].
也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1）/m]
*{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^(-1/m).
不等式兩邊同時做m次冪，此時不等號方向改變：
（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）
*{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^(-1）
不等式兩邊取倒數（不等號方向改變）再同乘（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1），即得：
（x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.
第一式得證。
第二式證明
m就-1和0兩種取值。
m=0時，原式簡化為x1+x2+x3+…………+xi+……+xn=x1+x2+x3+…………+xi+……+xn顯然成立；
m=-1時，原式簡化為y1+y2+y3+…………+yi+……+yn=y1+y2+y3+…………+yi+……yn顯然成立.
第二式得證。
第三式證明
設ai=yi^(-m),bi=xi^(m+1）.
p=-1/m,q=1/(m+1）.
當m(m+1）m>-1.
此時p>1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
也就是[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]≤[(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）]/[(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m].
第三式得證。
證畢.
取等號的條件
赫爾德不等式取等號的條件是：
當且僅當a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時等號成立。
所以第一式中，取等號的條件分別是：
m>0時候：
x1^(m+1）/y1^(m+1）=x2^(m+1）/y2^(m+1）=x3^(m+1）/y3^(m+1）=…………=
xi^(m+1）/yi^(m+1）=……=xn^(m+1）/yn^(m+1）.
m<-1時候：
x1^m/y1^m=x2^m/y2^m=x3^m/y3^m=…………=xi^m/yi^m=……=xn^m/yn^m.
第三式中，取等號的條件是：
0>m>-1時候：
y1/x1=y2/x2=y3/x3=…………=yi/xi=……=yn/xn.
由於xi、yi都是正數（也正因為這樣，利用赫爾德不等式證明權方和不等式時才能把絕對值符號去掉），所以可以分別通過開（m+1）、m、-1次方簡化為：
x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn時等號成立。
其他信息
進一步說明
權方和不等式是在高中競賽中很有用的一個不等式，常用來處理分式不等式。
它和赫爾德不等式的這個特殊情形是等價關係。
其中m稱為不等式的權，特點是分子次數比分母高一次。
應用
可用於處理分式不等式、放縮求最值（極值）、證明不等式等方面，對高中數學競賽有幫助。