是應用於數學中的公式，外文名Series formula，類型為數學名詞，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，且每一項都不為0(常數)，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。

如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。

1、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=

2、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1為首項、ak為已知的第k項)當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。

3、等差數列的前n項和公式：Sn=Sn=Sn=

當d≠0時，Sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關於n的正比例式。

4、等比數列的通項公式：an=a1qn-1an=akqn-k

(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)

5、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=na1(是關於n的正比例式)；

當q≠1時，Sn=Sn=

三、高中數學中有關等差、等比數列的結論

1、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數列。

2、等差數列{an}中，若m+n=p+q，則

3、等比數列{an}中，若m+n=p+q，則

4、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數列。

5、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。

6、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列

{anbn}、、仍為等比數列。

7、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。

8、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。

9、三個數成等差數列的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三個數成等比數列的設法：a/q,a,aq；

四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3(為什麼？)

11、{an}為等差數列，則(c>0)是等比數列。

12、{bn}（bn>0）是等比數列，則{logcbn}(c>0且c1)是等差數列。

求數列通項公式常用以下幾種方法：

一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。

例：在數列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數列的通項公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1，d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。

二、已知數列的前n項和，用公式

S1(n=1)

Sn-Sn-1(n2)

例：已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5

(A)9(B)8(C)7(D)6

解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8∴k=8選(B)

此類題在解時要注意考慮n=1的情況。

三、已知an與Sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出Sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。

例：已知數列{an}的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數列{an}的通項公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-=-，Sn=-，

再用(二)的方法：當n2時，an=Sn-Sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，

-(n=1)

-(n2)

四、用累加、累積的方法求通項公式

對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。

例：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an+1+an≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴-=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

五、用構造數列方法求通項公式

題目中若給出的是遞推關係式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構造出含有an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數列，從而求出an(或Sn)與n的關系，這是近一、二年來的高考熱點，因此既是重點也是難點。

例：已知數列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通項公式(2)略

解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝(--1)(an--)

∴{an--}是首項為a1--，公比為--1的等比數列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)，于是an=(--1)n-1(2--)+-

又例：在數列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，證明數列{an-n}是等比數列。

證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n)(q為非0常數)

由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

所以數列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數列。

若將此問改為求an的通項公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項公式，再轉化到an的通項公式上來。

又例：設數列{an}的首項a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項為1-a1，公比為--的等比數列，得an=1-(1-a1)(--)n-1