初級數學中算術分優先級,它們的運算順序是先計算乘法除法,後計算加法減法,如果有括號就先算括號內後算括號外,同一級運算順序是從左到右。這樣的運算叫四則運算,四則指加法、減法、乘法、除法的計算法則。加減互為逆運算，乘除互為逆運算，乘法是加法的簡便運算。

函數的近代定義是給定一個數集A，假設其中的元素為x，對A中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集B，假設B中的元素為y，則y與x之間的等量關系可以用y=f（x）表示，函數概念含有三個要素：定義域A、值域B和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函數關系的本質特徵。

函數的特點

1、需要注意定義函數可以將功能代碼進行封裝 將功能封裝、成為一個單獨的封裝體。

2、便於對該功能進行複用。

3、函數只有被調用才會被執行。

4、函數的出現提高了代碼的複用性。

5、對於函數沒有具體的返回值，返回值類型必須用關鍵字void表示，return可以不寫。

四大基本定理

威爾遜定理

在初等數論中，威爾遜定理給出了判定一個自然數是否為素數的充分必要條件。即：當且僅當pp為素數時，(p−1)!≡−1(modp)(p−1)!≡−1(modp)

歐拉定理

a，na，n為正整數，且互質，則：aφ(n)≡1(modn)aφ(n)≡1(modn)

歐拉函數：φ(n)φ(n)

φ(n)=φ(n)=不大於nn且與nn互質的數的個數。

例如：φ(8)=4(與1,3,5,7互質)φ(8)=4(與1,3,5,7互質)

(1)φ(1)=1(1)φ(1)=1

(2)(2)若nn為素數φ(n)=n−1φ(n)=n−1

(3)p(3)p為素數，若n=pkn=pk，那麼φ(n)=φ(pk)=pk−pk−1=pk(1−1p)φ(n)=φ(pk)=pk−pk−1=pk(1−1p)

例如：φ(8)=φ(23)=23−23−1=8(1−12)=4φ(8)=φ(23)=23−23−1=8(1−12)=4

(4)(4)歐拉函數是積性函數，若m,nm,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)φ(mn)=φ(m)φ(n)

(5)(5)任何一個大於11的整數都可以寫成一系列素數的乘積：n=pk11pk22⋯pkrrn=p1k1p2k2⋯prkr

φ(n)=φ(pk11)φ(pk22)⋯φ(pkrr)=pk11(1−1p1)pk22(1−1p2)⋯pkrr(1−1pr)=n(1−1p1)(1−1p2)⋯(1−1pr)φ(n)=φ(p1k1)φ(p2k2)⋯φ(prkr)=p1k1(1−1p1)p2k2(1−1p2)⋯prkr(1−1pr)=n(1−1p1)(1−1p2)⋯(1−1pr)

例如：φ(8)=8(1−12)=4φ(8)=8(1−12)=4

費馬小定理

若pp為素數，對任意整數aa，當p∤ap∤a（整數aa不是pp的倍數），有ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)

孫子定理（中國剩餘定理）

對於一元線性同餘方程組：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x≡an(modmn){x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x≡an(modmn)

設整數m1,m2,⋯,mnm1,m2,⋯,mn兩兩互質，則對任意整數a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,an,方程組有解，並可以通過如下方式得到通解：

(1)設M=m1m2⋯mn,Mi=Mmi=∏j=1,j≠inmj(1)設M=m1m2⋯mn,Mi=Mmi=∏j=1,j≠inmj

(2)設M′i為Mi模mi的數論倒數，即M′iMi≡1(modmi)(2)設Mi′為Mi模mi的數論倒數，即Mi′Mi≡1(modmi)

通解：x=kM+∑i=1naiM′iMi(k∈z)x=kM+∑i=1naiMi′Mi(k∈z)

擴展：

歐拉降冪：

ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%φ(p)ab%φ(p)ab%φ(p)+φ(p)gcd(a,p)=1gcd(a,p)≠1,b<φ(p)gcd(a,p)≠1,b⩾φ(p)(modp)ab≡{ab%φ(p)gcd(a,p)=1ab%φ(p)gcd(a,p)≠1,b<φ(p)ab%φ(p)+φ(p)gcd(a,p)≠1,b⩾φ(p)(modp)

逆元

根據費馬小定理：ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)，則有：

aap−2≡1(modp)aap−2≡1(modp)

即：

ap−2≡1a(modp)