1. 對數公式推論的推導過程是從基本的對數定義出發，即：

如果a^x=b，那麼x=log_a b

2. 從這個定義出發，可以推導出以下公式：

log_a (b^c) = c log_a b

3. 將上面的公式推廣到多個變量的情況，可以得到：

log_a (b^c * d^e) = c log_a b + e log_a d

4. 將上面的公式推廣到任意多個變量的情況，可以得到：

log_a (b_1^c_1 * b_2^c_2 * ... * b_n^c_n) = c_1 log_a b_1 + c_2 log_a b_2 + ... + c_n log_a b_n

5. 最後，將上面的公式簡化，可以得到最終的對數公式：

log_a (b_1 * b_2 * ... * b_n) = log_a b_1 + log_a b_2 + ... + log_a b_n

用的是極限中的一個結論：x趨近於0時ln(1+x)和x是等價無窮小

。

h趨近於0時，ln(1+h/x)和h/x是等價無窮小。

例如:

對數函數

的推導需要利用反函數

的求導法則

指數函數

的求導，定義法：

f(x)=a^x

f'(x)=lim(detaX->0)[(f(x+detaX)-f(x))/detax]=lim(detaX->0)[(a^(x+detaX)-a^x/)detax]=(a^x).........

(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h

=lim(h->0)[loga(x+h)-logax]/h

=lim(h->0)1/hloga[(x+h)/x]

=1/xIna

實數域

在實數域中，真數

式子沒根號那就只要求真數式大於零，如果有根號，要求真數大於零還要保證根號裡的式子大於等於零（若為負數，則值為虛數

），底數

則要大於0且不為1。

對數函數的底數為什麼要大於0且不為1，在一個普通對數式裡 a<0，或=1 的時候是會有相應b的值。但是，根據對數定義：log以a為底a的對數；如果a=1或=0那麼log以a為底a的對數就可以等於一切實數（比如log11也可以等於2，3，4，5，等等）。

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數

*表示乘號，/表示除號

定義式：

若a^n=b(a>0且a≠1)

則n=log(a)(b)

基本性質：

1.a^(log(a)(b))=b

2.log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);

3.log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);

4.log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

推導

1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)

2.

mn=m*n

由基本性質1(換掉m和n)

a^[log(a)(mn)]=a^[log(a)(m)]*a^[log(a)(n)]

由指數的性質

a^[log(a)(mn)]=a^{[log(a)(m)]+[log(a)(n)]}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n)

3.與2類似處理

mn=m/n

由基本性質1(換掉m和n)

a^[log(a)(m/n)]=a^[log(a)(m)]/a^[log(a)(n)]

由指數的性質

a^[log(a)(m/n)]=a^{[log(a)(m)]-[log(a)(n)]}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n)

4.與2類似處理

m^n=m^n

由基本性質1(換掉m)

a^[log(a)(m^n)]={a^[log(a)(m)]}^n

由指數的性質

a^[log(a)(m^n)]=a^{[log(a)(m)]*n}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

其他性質：

性質一：換底公式

log(a)(n)=log(b)(n)/log(b)(a)

推導如下

n=a^[log(a)(n)]

a=b^[log(b)(a)]

綜合兩式可得

n={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(n)]=b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}

又因為n=b^[log(b)(n)]

所以

b^[log(b)(n)]=b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(n)=[log(a)(n)]*[log(b)(a)]{這步不明白或有疑問看上面的}

所以log(a)(n)=log(b)(n)/log(b)(a)

性質二：（不知道什麼名字）

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推導如下

由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)

由基本性質4可得

log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}

再由換底公式

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]