對於一元二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）來說：

當 x=-b/2a 時，有最值；且最值公式為：（4ac—b^2）/4a

當a>0時， 為最小值， 當a<0時， 為最大值。

一元二次方程經過整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。其中ax²叫作二次項，a是二次項係數；bx叫作一次項，b是一次項係數；c叫作常數項。

成立條件

一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：

1、是整式方程，即等號兩邊都是整式，方程中如果有分母；且未知數在分母上，那麼這個方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根號，且未知數在根號內，那麼這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）。

2、只含有一個未知數；

3、未知數項的最高次數是2

一元二次函數的最值問題是高一知識中的一個重點、熱點,也是同學們在學習過程中普遍感到困惑的一個難點,它考查了函數的單調性,以及數形結合、分類討論等數學思想和方法.下面對這一知識點進行簡單總結

一、一元二次函數在［m ，n ］上的最值

1. 設函數

（1 ）求函數f(x) 在區間[m ，n] 上的最小值。

①當。

②當。

③當。

（2 ）求函數f(x) 在區間[m ，n] 上的最大值。

①當

②當。

2. 設函數

（1 ）求函數f(x) 在區間[m ，n] 上的最大值。

①當

②當

③當

（2 ）求函數f(x) 在區間[m ，n] 上的最小值。

①當。

②當。

二、典型例題

1. 確定所給區間的單調性

例1 已知二次函數f(x) 滿足f(0)=0 ，f(1)=1 ，且在區間[m ，n] 上的值域是[m ，n]m ，n 的值。

解：∵二次函數f(x) 滿足

∴函數的對稱軸為x=1

又因為，可設。把f(0)=0 代入得到a= －1

由題意知函數值域為

因此，函數在區間[m ，n] 上單調遞增

∴



或1 ，n=0 或1

綜合題意可得m=0 ，n=1

2. 已知二次函數圖象開口方向，需要討論函數對稱軸。

例2 已知函數在區間[ －1 ，2] 上的最大值為4 ，求a 的值。

解：函數，對稱軸為x= －a 。

①當

②當

綜上所述，

3. 二次函數的解析式確定，但所給區間需要討論。

例3 設函數的定義域為[t －2 ，t －1] ，，求函數的最小值的解析式。

解：（1 ）

①當

②當[t －2 ，t －1] 。

③3<t<4< span=""> </t<4<>



4. 二次項係數的討論。

例4 已知函數上的最大值為1 ，求a 的值。

解：（1 ）當，函數在區間上單調遞減，，不符合題意，所以捨去。

（2 ）當a>0

①當



，符合題意。

②當



（捨去）。

（3 ）當a<0 。

①矛盾。

②

= （捨去）

③當（捨去）或。

綜上所述可得