多項式餘數定理是指當一個多項式被另一個多項式除盡後得到的餘數是一個關於除數的一次多項式的情況。多項式餘數定理實際上是一種數學方法，它可以求出兩個多項式相除的餘數。

這個定理表明，如果有兩個多項式P(x)和D(x)，其中D(x)是一個一次式，那麼P(x)除以D(x)的餘數是一個關於x的一次多項式。通過這個定理，我們可以找到任何一個多項式的餘項，從而有效地解決多項式除法的問題。這個定理在代數學中起著非常重要的作用，它不僅可以用來簡化計算，還可以用於證明其它定理和公式。

餘式定理 是指當一個 多項式 f(x) 除以一線性多項式(x – a) 的餘式是 f(a)。餘式定理可由 多項式除法 的 定義 導出。

中文名：餘式定理

外文名：Remainder theorem

別名：多項式餘數定理

領域：數理科學

特殊情況：因式定理。。。。定義

餘式定理 是指一個多項式

除以一線性多項式

的餘式是

。

我們可以一般化 餘數定理 。如果

的商式是

、餘式是

，那麼

。其中

的次數會小於

的次數。例如，

的餘式是

。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。 至於除式為2次以上時，可將n次除式的

根

列出聯立方程：

其中

是被除式

是餘式。 此方法只可用在除式不是任一多項式的

次方。

推導

餘式定理 可由 多項式除法 的定義導出。根據多項式除法的定義，設被除式為

，除式為

，商式為

，餘式為

，則有

如果

是一次式

，則

的次數小於1，因此，

只能為常數，這時，餘式也叫 餘數 ，記為

，即有

根據上式，當

時，有

因此，我們得到了 餘數定理 ：多項式

除以

所得的餘數等於

推論 ：多項式

除以

的餘式為

。

關於如何求f（x）除以一個多項式的餘式—— 長除法 。

特殊的餘式定理——因式定理

1.因式定理的定義

在 代數 ， 因式定理 ( factor theorem )是關於一個 多項式 的因式和 零點 的定理。這是一個 餘式定理 的特殊情形。 因式定理 指出，一個多項式

有一個因式

當且僅當

。

2.多項式的因式分解

因式定理 普遍應用於找到一個多項式的因式或多項式方程的根的兩類問題。從定理的推論結果，這些問題基本上是等價的。

若多項式已知一個或數個 零點 ，因式定理也可以移除多項式中已知零點的部分，變成一個階數較低的多項式，其零點即為原多項式中剩下的零點，以簡化多項式求根的過程。

方法如下

1）先設法找出多項式的一個零點

2）利用因式定理確認

是多項式

的因式。

3）利用 長除法 計算多項式

4）

中，所有滿足

條件的根

都是方程式

的根。因為

的多項式階數較

要小。因此要找出多項式

的零點可能會比較簡單。

5）欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,則被除式A=R能使此方程式成立,則被除式=(商式)(除式)+餘式或被除式/除式=商式+餘式/除式。