一個已知角的角平分線平分這個角，角平分線到已知角兩邊的距離相等，角平分線是這個角的對稱軸，角平分線是從角的頂點出發的一條射線。



在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，即∠1=∠2，可得到如下結論：



結論1：角平分線上的點到角兩邊的距離相等

即過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，得DM=DN，

備注：可根據△AMD≌△AND得出DM=DN



結論2：角平分線定理AB：AC=BD：DC

證明：

過點D作DE∥AB於E



∵DE∥AB

可得AE：EC=BD：DC ①

又DE∥AB還可得△ABC∽△EDC

∴AB：AC=DE：EC ②

AD是∠ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，

又DE∥AB

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3

∴AE=DE

∴①式可變為DE：EC=BD：DC ③

結合②③可得：

AB：AC=BD：DC

結論3：斯庫頓定理AD2=AB∙AC-BD∙CD



證明：

延長AC到E，使得CE=CD，連接DE，同時在AB上找一點F使得BF=BD，連接DF

∵BF=BD

∴∠BFD=∠BDF ①

根據三角形的內角和為180°

可得∠BFD+∠BDF+∠B=180°②

∠BAC+∠ACB+∠B=180°③

根據①②③可得

∠BFD=1/2(∠BAC+∠ACB) ④

又∠BFD=∠1+∠ADF (三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角和)

則∠ADF=∠BFD-∠1 ⑤

又∠BAC=2∠1 ⑥

又∵CD=CE

∴∠ACB=2∠AED ⑦

結合④⑤⑥⑦可得：

∠ADF=∠AED

又∠1=∠2

∴△AED∽△ADE

∴AE：AD=AD：AF

即AD2=AE∙AF

又AE=AC+CE，AF=AB-BF

即AD2=(AC+CE)∙(AB-BF)

又CE=CD，BF=BD

且AB：AC=BD：DC(角平分線定理)

∴AD2= AB∙AC-BD∙CD

結論4：三角形內心(內切圓的圓心)是三個角的角平分線交點

如下圖O為△ABC的內心，△ABC的角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，則有：





且△ABC的內切圓O的半徑r的公式如下：



1.角平分線上的一點到角的兩邊距離相等。

2.角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。（逆運用）

三角形頂點到其內角的角平分線交對邊的點連的一條線段，叫三角形的角平分線。

三角形的角平分線不是角的平分線：一個是線段，一個是射線。

三角形角平分線有個有趣的性質：三角形ABC中角A的平分線為AD，則AB:AC=BD:CD。(可用面積法證明)

證明過程：過B作BE‖AC,交AD延長線於E

則∠E=∠CAD=∠BAD

∴AB=BE

已知:△ACD∽△EBD

∴BE:AC=BD:DC

即AB:AC=BD:DC

三角形的三條角平分線相交於一點，該點為三角形的內心，且內心到三條邊的距離相等。

三角形三個角平分線的交點叫做三角形的內心。