1. 偏微分方程
偏微分方程（Partial Differential Equation，簡寫為PDE）是未知量包含多個獨立變量、方程包含偏微分運算的一類微分方程。
在物理模型中，最常見的情況是：需要求解的未知量含有時間變量(t)和空間變量（視維數變化）。最簡單的偏微分方程包括二維穩定問題（只和空間變量x,y有關）和一維傳導/波動問題（只和一維空間變量x和時間t有關）。
2. 二階線性偏微分方程的一般討論
一般地，任意的二維二階線性偏微分方程都可以寫成如下形式：
a∂2u∂x2+b∂2u∂x∂y+c∂2u∂y2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu(x,y)+g(x,y)=0
根據二階項係數，該類型的偏微分方程可以分為以下形式：
Δ=b2−4ac>0⇒雙曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恆系統
Δ=b2−4ac=0⇒拋物型(parabolic)方程，一般描述耗散系統
Δ=b2−4ac<0⇒橢圓型(elliptic)方程，一般描述穩定狀態和系統
常見的經典二階線性偏微分方程：
1) 波動方程：∂2u∂t2−1a2∇2u=f(x,y,z,t)，一維的波動方程 Δ=1a2>0 屬雙曲型方程；
2) 熱傳導方程：∂u∂t−k∇2u=f(x,y,z,t)，Δ=0 屬拋物型方程；
3) 泊松方程：∇2u=f(x,y,z,t) 其齊次形式 ∇2u=0 稱為拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的橢圓型方程。
3. 初始條件和邊界條件
正如常微分方程一樣，單獨的偏微分方程是不能定解的；需要構成定解問題，還需要初始條件和邊界條件的加持：或者需要給出一定個數的初始條件，或者需要給出一定個數的邊界條件，或者給出由初始條件和邊界條件構成的混合條件。
邊界條件
邊界條件規定了未知量 u 在偏微分方程邊界上的取值/偏導數等信息。如果 u 的偏微分方程的區域關於自變量x的邊界是x=x1和x=x2（對於二維區域來說，說明該區域夾在兩條平行線間；對於三維區域，則夾在兩個平面間），那麼下式：
u(x,y)|x=x1=u1(y),u(x,y)|x=x2=u2(y)
就構成了一組邊界條件。
一般地說，邊界面的形狀記作Σ，則比如：
1) 第一類邊界條件——狄利克雷(Dirichlet)條件（給出未知量取值）：u(x,y)|Σ=ϕ(x,y)
2) 第二類邊界條件——諾伊曼(Neumann)條件（給出未知量的偏導數值）：∂u(x,y)∂n=ψ(x,y)
3) 第三類邊界條件——斯托克斯(Stokes)條件（給出未知量取值和偏導數的線性疊加）：αu(x,y)|Σ+β∂u(x,y)∂n=γ(x,y)
邊界條件的類型非常豐富，只要是給出未知量在邊界上行為的條件都是邊界條件，一些常用但比較特別的比如：
a) 規定無窮遠處未知量u為零：limr→∞u(x,y)=0,r=x2+y2−−−−−−√；
b) 或者正則條件，給出未知量在無窮遠處的行為或漸近形式：u(r)∼1r
b) 規定某點處未知量u有界：u(x0,y0)有界
初始條件
初始條件規定了未知量 u 在某個獨立變量取特定值時的取值/偏導數值等信息。比如關於獨立變量x,y的未知量u(x,y)：
u(x,y)|x=x0=u0(y),∂u∂x|x=x0=f(y)
就構成了初始條件。有時，初始條件給出的也是一個變量處在邊界上的情形，實際上也可以理解為一種邊界條件，但是初始條件是“單邊條件”，即只給出一個變量在一個點的值，而不會給出在整個邊界上的信息，因此二者很容易區分。
初始條件得名的原因是，給出初始條件往往是對於時間變量t，其物理意義為初始時刻系統的狀態。
1. 偏微分方程
偏微分方程（Partial Differential Equation，簡寫為PDE）是未知量包含多個獨立變量、方程包含偏微分運算的一類微分方程。
在物理模型中，最常見的情況是：需要求解的未知量含有時間變量(t)和空間變量（視維數變化）。最簡單的偏微分方程包括二維穩定問題（只和空間變量x,y有關）和一維傳導/波動問題（只和一維空間變量x和時間t有關）。
2. 二階線性偏微分方程的一般討論
一般地，任意的二維二階線性偏微分方程都可以寫成如下形式：
a∂2u∂x2+b∂2u∂x∂y+c∂2u∂y2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu(x,y)+g(x,y)=0
根據二階項係數，該類型的偏微分方程可以分為以下形式：
Δ=b2−4ac>0⇒雙曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恆系統
Δ=b2−4ac=0⇒拋物型(parabolic)方程，一般描述耗散系統
Δ=b2−4ac<0⇒橢圓型(elliptic)方程，一般描述穩定狀態和系統
常見的經典二階線性偏微分方程：
1) 波動方程：∂2u∂t2−1a2∇2u=f(x,y,z,t)，一維的波動方程 Δ=1a2>0 屬雙曲型方程；
2) 熱傳導方程：∂u∂t−k∇2u=f(x,y,z,t)，Δ=0 屬拋物型方程；
3) 泊松方程：∇2u=f(x,y,z,t) 其齊次形式 ∇2u=0 稱為拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的橢圓型方程。
3. 初始條件和邊界條件
正如常微分方程一樣，單獨的偏微分方程是不能定解的；需要構成定解問題，還需要初始條件和邊界條件的加持：或者需要給出一定個數的初始條件，或者需要給出一定個數的邊界條件，或者給出由初始條件和邊界條件構成的混合條件。
邊界條件
邊界條件規定了未知量 u 在偏微分方程邊界上的取值/偏導數等信息。如果 u 的偏微分方程的區域關於自變量x的邊界是x=x1和x=x2（對於二維區域來說，說明該區域夾在兩條平行線間；對於三維區域，則夾在兩個平面間），那麼下式：
u(x,y)|x=x1=u1(y),u(x,y)|x=x2=u2(y)
就構成了一組邊界條件。
一般地說，邊界面的形狀記作Σ，則比如：
1) 第一類邊界條件——狄利克雷(Dirichlet)條件（給出未知量取值）：u(x,y)|Σ=ϕ(x,y)
2) 第二類邊界條件——諾伊曼(Neumann)條件（給出未知量的偏導數值）：∂u(x,y)∂n=ψ(x,y)
3) 第三類邊界條件——斯托克斯(Stokes)條件（給出未知量取值和偏導數的線性疊加）：αu(x,y)|Σ+β∂u(x,y)∂n=γ(x,y)
邊界條件的類型非常豐富，只要是給出未知量在邊界上行為的條件都是邊界條件，一些常用但比較特別的比如：
a) 規定無窮遠處未知量u為零：limr→∞u(x,y)=0,r=x2+y2−−−−−−√；
b) 或者正則條件，給出未知量在無窮遠處的行為或漸近形式：u(r)∼1r
b) 規定某點處未知量u有界：u(x0,y0)有界
初始條件
初始條件規定了未知量 u 在某個獨立變量取特定值時的取值/偏導數值等信息。比如關於獨立變量x,y的未知量u(x,y)：
u(x,y)|x=x0=u0(y),∂u∂x|x=x0=f(y)
就構成了初始條件。有時，初始條件給出的也是一個變量處在邊界上的情形，實際上也可以理解為一種邊界條件，但是初始條件是“單邊條件”，即只給出一個變量在一個點的值，而不會給出在整個邊界上的信息，因此二者很容易區分。
初始條件得名的原因是，給出初始條件往往是對於時間變量t，其物理意義為初始時刻系統的狀態。