正弦定理的推廣方式，只需證明任意三角形內,任一角的邊與它所對應的正弦之 比值為該三角形外接圓直徑即可。 現將△ABC,做其外接圓,設圓心為 O。我們考慮∠C 及其對邊 AB。 設 AB 長度為 c。若 1∠C 為直角,則 AB 就是⊙O 的直徑,即 c= 2R。

正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓的直徑。如下圖，在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，△ABC的外接圓半徑為r，直徑為d，那麼a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2r=d。



證法一（作高線）：

過A點作AD⊥BC，交BC於D點，如下圖



∴AD/c=sin∠B，AD/b=sin∠C

∴b/sin∠B=c/sin∠C

同理作AC邊上的高可得：c/sin∠C=a/sin∠A

∴a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C

證法二（等面積）：



△ABC的面積S=1/2·bcsin∠A=1/2·acsin∠B=1/2·absin∠C

上式同時除1/2·abc即得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C

證法三（作外接圓）：

作△ABC的外接圓O，半徑為r，直徑為d，連接AO並延長交⊙O於D點，連接CD，如下圖



∵同弧所對圓周角相等

∴∠B=∠D，b/sin∠B=b/sin∠D

∵直徑所對圓周角為90度

∴b/sin∠B=b/sin∠D=2r=d

同理可得：a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2r=d

證法四（用向量）：

（1）當△ABC為銳角三角形時，作向量BC、BA、CA以及垂直於BC的向量n（以加粗表示向量），如下圖



∵BC+CA=BA

∴n·（BC+CA）=n·BA（兩邊同時與n作數量積）

∴n·BC+n·CA=n·BA

∣n∣∣BC∣cos90°+∣n∣∣CA∣cos(90°-∠C)=∣n∣∣BA∣cos(90°-∠B)

b sin∠C=c sin∠B

∴b/sin∠B=c/sin∠C

同理可得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C

（2）當△ABC為直角三角形時，不妨令∠B=90°



立即得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=b=2r=d(r為外接圓半徑）

（3）當△ABC為鈍角三角形時，不妨令∠B為鈍角，作向量BC、BA、AC以及垂直於BC的向量n（以加粗表示向量），如下圖



∵BA+AC=BC

∴n·（BA+AC）=n·BC（兩邊同時與n作數量積）

∴n·BA+n·AC=n·BC

∣n∣∣BA∣cos(∠B-90°)+∣n∣∣AC∣cos(90°+∠C)=∣n∣∣BC∣cos90°

b sin∠C=c sin∠B

∴b/sin∠B=c/sin∠C

同理可得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C