1，求出一個矩陣的全部互異的特徵值a1,a2……

2，對每個特徵值，求特徵矩陣a1I-A的秩，判斷每個特徵值的幾何重數q=n-r(a1I-A),是否等於它的代數重數p，只要有一個不相等，A就不可 以相似對角化，否則， 就可以相似對角化

3，當可以相似對角化時，對每個特徵值，求方程組，（aiI-A）X=0的一個基礎解系

4，令P=這些基礎解系，則P-1AP=diag(a1,a2,a3……)，其中有qi個特徵值

擴展資料：

判斷方陣是否可相似對角化的條件：　　

(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關的特徵向量;　　

(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特徵值滿足n-r（λE-A）=k　　

(3)充分條件：如果An的n個特徵值兩兩不同，那麼An一定可以相似對角化;　　

(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那麼An一定可以相似對角化。　　

【注】分析方陣是否可以相似對角化，關鍵是看線性無關的特徵向量的個數，而求特徵向量之前，必須先求出特徵值。

掌握實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的性質　　

(1)不同特徵值的特徵向量一定正交　　

(2)k重特徵值一定滿足滿足n-r（λE-A）=k　　

【注】由性質(2)可知，實對稱矩陣一定可以相似對角化;且有(1)可知，實對稱矩陣一定可以正交相似對角化。　

會求把對稱矩陣正交相似化的正交矩陣　　

【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對同一個特徵值求出的基礎解系進行正交化，不同特徵值對應的特徵向量一定正交(當然除非你計算出錯了會發現不正交)。　

3、實對稱矩陣的特殊考點：　　

實對稱矩陣一定可以相似對角化，利用這個性質可以得到很多結論，比如：　　

(1)實對稱矩陣的秩等於非零特徵值的個數　　

這個結論只對實對稱矩陣成立，不要錯誤地使用。　　

(2)兩個實對稱矩陣，如果特徵值相同，一定相似，同樣地，對於一般矩陣，這個結論也是不成立的。

實對稱矩陣在二次型中的應用　　

使用正交變換把二次型化為標準型使用的方法本質上就是實對稱矩陣的正交相似對角化。

對角化是將一個矩陣通過相似變換，轉化為一個對角矩陣的操作。具體來說，給定一個n階方陣A，如果存在一個可逆矩陣P，使得P逆AP等於一個對角矩陣D，即：P^-1AP=D，則稱矩陣A可對角化。

求解矩陣的對角化一般可以通過以下步驟實現：

1. 求出矩陣的特徵值：首先需要求解矩陣A的特徵值和對應的特徵向量。設A的特徵值為λ，特徵向量為v，則有：Av=λv。

2. 求出特徵向量：對於每個特徵值λ，求解對應的特徵向量v。可以通過高斯消元或其他方法求解。

3. 構造P矩陣：將求得的特徵向量按列組成P矩陣，則P=[v1,v2,…,vn]，其中vi是矩陣A對應特徵值λi的特徵向量。

4. 求出對角矩陣D：構造對角矩陣D=[λ1,λ2,…,λn]。

5. 判斷可逆性：判斷矩陣P是否可逆。如果P可逆，則A可以被相似對角化為D，即A=PDP^-1。

需要注意的是，並不是所有的矩陣都可以被對角化，但是根據矩陣的特徵值和特徵向量可以判斷一個矩陣是否可以對角化。若有n個不同的特徵值，且每個特徵值所對應的特徵向量線性無關，則矩陣A可以被對角化。

對角化求解是一種重要的線性代數求解方法，可以用來解決一些方程組的求解問題，通常它利用矩陣的對角線特性，通過將一個矩陣變換為一個對角矩陣來解決方程組。

具體的求解步驟如下：

（1）先對矩陣A的特徵值進行分解，A = λ1P1 + λ2P2 + ...+ λnPn，其中Λ1,Λ2,...,Λn為A的特徵值，P1,P2,...,Pn為A的特徵向量；

（2）將特徵向量拼接在一起，得到矩陣P；

（3）將特徵值拼接在一起，得到對角矩陣Λ；

（4）A的對角化就是A=P^(-1)ΛP。

有了A的對角化之後，可以根據A的特徵值對其進行分解，對複雜的方程組進行求解，這也是對角化求解的基本原理。