定義與定義式

自變量x和因變量y有如下關系:

y=kx

(k為任意不為零實數)

或y=kx+b

(k為任意不為零實數，b為任意實數)

則此時稱y是x的一次函數。

特別的，當b=0時，y是x的正比例函數。正比例是?:?。

即:y=kx

(k為任意不為零實數)

定義域:自變量的取值範圍，自變量的取值應使函數有意義;要與實際相符合。

一次函數的圖像及性質

1.作法與圖形:通過如下3個步驟

(1)列表[一般取兩個點,根據兩點確定一條直線];

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數的圖像--一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，並連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質:(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交於(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。

3.函數不是數，它是指某一變量過程中兩個變量之間的關系。

4.k，b與函數圖像所在象限:

y=kx時(既b等於0，y與x成正比)

當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

y=kx+b時:

當

k>0,b>0,

這時此函數的圖象經過一，二，三象限。

當

k>0,b<0,

這時此函數的圖象經過一，三，四象限。

當

k<0,b<0,

這時此函數的圖象經過二，三，四象限。

當

k<0,b>0,

這時此函數的圖象經過一，二，四象限。

當b＞0時，直線必通過一、二象限;

當b＜0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=0時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限;當k＜0時，直線只通過二、四象限。

4、特殊位置關系

當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中K值(即一次項係數)相等

當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數(即兩個K值的乘積為-1)

例題:

例1.

一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體後會伸長，伸長的長度與所掛物體的質量成正比例.如果掛上3kg物體後，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質量x(kg)之間的函數關係式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變量x的取值範圍.

分析:此題由物理的定性問題轉化為數學的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負載後伸長的長度之和，而自變量的取值範圍則可由最大總長→最大伸長→最大質量及實際的思路來處理.

解:由題意設所求函數為y=kx+12

則13.5=3k+12，得k=0.5

∴所求函數解析式為y=0.5x+12

由23=0.5x+12得:x=22

∴自變量x的取值範圍是0≤x≤22

例2

某學校需刻錄一些電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學校自刻，除租用刻錄機120元外，每張還需成本4元，問這些光盤是到電腦公司刻錄，還是學校自己刻費用較省?

此題要考慮X的範圍

解:設總費用為Y元，刻錄X張

電腦公司:Y1=8X

學校

:Y2=4X+120

當X=30時，Y1=Y2

當X>30時，Y1>Y2

當X<30時，Y1<Y2

【考點指要】

一次函數的定義、圖象和性質在中考說明中是C級知識點，特別是根據問題中的條件求函數解析式和用待定係數法求函數解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數、二次函數及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現在中考題中，大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法