例1:
求等差數列3.5.7.···的第10項和第100項。
分析:在這個等差數列中已知a1=3,d=2.n=10或n=100
即:
解答:
a10=3+(10-1)×2=21
a100=3+(100-1)×2=201
所以第10項是21,第100項是201。
例2:
把1988表示成28個連續偶數的和,那麼其中最大的那個偶數是多少?
28個偶數成14組,對稱的2個數是一組,即最小數和最大數是一組,
每組和為:1988÷14=142,最小數與最大數相差28-1=27個公差,
即相差2×27=54,這樣轉化為和差問題,最大數為(142+54)÷2=98。
例3:
求所有被7除餘數是1的三位數的和。
分析:首先分析一下被7除餘1的三位數是哪些,我們知道符合這一條件最小的是105+1=106,採用同樣方法可知最大三位數是995,而且這些三位數前後兩數相差7,即為等差數列。
所求的三位數是106,113,120,......995,則
n=(995-106)÷7+1
=889÷7+1
=128
106+113+120+...+995=(106+995)×128÷2=70464
例4:
盒子裡裝著分別寫有1、2、3、……134、135的紅色卡片各一張,從盒中任意摸出若干張卡片,並算出這若干張卡片上各數的和除以17的餘數,再把這個餘數寫在另一張黃色的卡片上放回盒內,經過若干次這樣的操作後,盒內還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片,已知這兩張紅色的卡片上寫的數分別是19和97,求那張黃色卡片上所寫的數。
因為每次若干個數,進行了若干次,所以比較難把握,不妨從整體考慮,之前先退到簡單的情況分析:假設有2個數20和30,它們的和除以17得到黃卡片數為16,如果分開算分別為3和13,再把3和13求和除以17仍得黃卡片數16,也就是說不管幾個數相加,總和除以17的餘數不變,回到題目1+2+3+……+134+135=136×135÷2=9180,9180÷17=540, 135個數的和除以17的餘數為0,而19+97=116,116÷17=6……14, 所以黃卡片的數是17-14=3。
例5:
下面的各算式是按規律排列的:
1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17,……, 那麼其中第多少個算式的結果是1992?
解答:先找出規律:每個式子由2個數相加,第一個數是1、2、3、4的循環,第二個數是從1開始的連續奇數。
因為1992是偶數,2個加數中第二個一定是奇數,所以第一個必為奇數,所以是1或3, 如果是1:那麼第二個數為1992-1=1991,1991是第(1991+1)÷2=996項,而數字1始終是奇數項,兩者不符, 所以這個算式是3+1989=1992,是(1989+1)÷2=995個算式。
例6:
有一個三角形算式
1
2+3
4+5+6
7+8+9+10
求第51層算式的和是多少?
先觀察,因為每層的數的個數與層數相等,
所以從第1層到第50層共有1+2+3+4+5+...+50=(1+50)×50÷2=1275(個)數,于是第51層的第一個數為1276,最後一個數為1275+51=1326
第51層的數的和相應為:
1276+1277+1278+...+1326
=(1276+1326)×51÷2
=66351
例1:
求等差數列3.5.7.···的第10項和第100項。
分析:在這個等差數列中已知a1=3,d=2.n=10或n=100
即:
解答:
a10=3+(10-1)×2=21
a100=3+(100-1)×2=201
所以第10項是21,第100項是201。
例2:
把1988表示成28個連續偶數的和,那麼其中最大的那個偶數是多少?
解答:
28個偶數成14組,對稱的2個數是一組,即最小數和最大數是一組,
每組和為:1988÷14=142,最小數與最大數相差28-1=27個公差,
即相差2×27=54,這樣轉化為和差問題,最大數為(142+54)÷2=98。
例3:
求所有被7除餘數是1的三位數的和。
分析:首先分析一下被7除餘1的三位數是哪些,我們知道符合這一條件最小的是105+1=106,採用同樣方法可知最大三位數是995,而且這些三位數前後兩數相差7,即為等差數列。
即:
解答:
所求的三位數是106,113,120,......995,則
n=(995-106)÷7+1
=889÷7+1
=128
106+113+120+...+995=(106+995)×128÷2=70464
例4:
盒子裡裝著分別寫有1、2、3、……134、135的紅色卡片各一張,從盒中任意摸出若干張卡片,並算出這若干張卡片上各數的和除以17的餘數,再把這個餘數寫在另一張黃色的卡片上放回盒內,經過若干次這樣的操作後,盒內還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片,已知這兩張紅色的卡片上寫的數分別是19和97,求那張黃色卡片上所寫的數。
解答:
因為每次若干個數,進行了若干次,所以比較難把握,不妨從整體考慮,之前先退到簡單的情況分析:假設有2個數20和30,它們的和除以17得到黃卡片數為16,如果分開算分別為3和13,再把3和13求和除以17仍得黃卡片數16,也就是說不管幾個數相加,總和除以17的餘數不變,回到題目1+2+3+……+134+135=136×135÷2=9180,9180÷17=540, 135個數的和除以17的餘數為0,而19+97=116,116÷17=6……14, 所以黃卡片的數是17-14=3。
例5:
下面的各算式是按規律排列的:
1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17,……, 那麼其中第多少個算式的結果是1992?
解答:先找出規律:每個式子由2個數相加,第一個數是1、2、3、4的循環,第二個數是從1開始的連續奇數。
因為1992是偶數,2個加數中第二個一定是奇數,所以第一個必為奇數,所以是1或3, 如果是1:那麼第二個數為1992-1=1991,1991是第(1991+1)÷2=996項,而數字1始終是奇數項,兩者不符, 所以這個算式是3+1989=1992,是(1989+1)÷2=995個算式。
例6:
有一個三角形算式
1
2+3
4+5+6
7+8+9+10
求第51層算式的和是多少?
先觀察,因為每層的數的個數與層數相等,
所以從第1層到第50層共有1+2+3+4+5+...+50=(1+50)×50÷2=1275(個)數,于是第51層的第一個數為1276,最後一個數為1275+51=1326
第51層的數的和相應為:
1276+1277+1278+...+1326
=(1276+1326)×51÷2
=66351