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  • 1 # 愛吃肉的光頭

    介紹一階非齊次線性微分方程的通解的應用、特解求解舉例,以及二階微分方程可用該通解求解的情形。

    一、方程通解公式

    一階非齊次線性微分方程的解析式為:y'+p(x)=q(x),

    則其通解表達式如下:y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.

    二、通解公式的實際應用

    本例中,p(x)=2x,q(x)=4x.

    本例中,p(x)=-1/x,q(x)=2x^2.

    本例中,p(x)=1/x,q(x)=sinx/x.

    本例中,先要將y'前面的係數x變形除後,得到:p(x)=1/x,q(x)=e^x/x.

    本例中,p(x)=-a,q(x)=e^mx.

    此例中,要反過來用一階非齊次線性微分方程的通解公式,其中:p(y)=-3/y,q(y)=-y/2.

    三、用公式求特解情況舉例

    本例中p(x)=1/x,q(x)=4/x,求滿足y(x=1)=0時的特解。

    本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3,q(x)=1,求滿足y(x=1)=0時的特解。

    四、二階微分方程可使用通式求解舉例

    y''+y'/x=4,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=1/x,Q=4。

    y''=y'+x,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=-1,Q=x。

    xy''+y'=lnx,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=1/x,Q=lnx/x

  • 2 # 髒話比謊話乾淨558

    本文介紹一階非齊次線性微分方程的通解的應用、特解求解舉例,以及二階微分方程可用該通解求解的情形。

    一、方程通解公式

    一階非齊次線性微分方程的解析式為:y'+p(x)=q(x),

    則其通解表達式如下:y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.

    二、通解公式的實際應用

    本例中,p(x)=2x,q(x)=4x.

    本例中,p(x)=-1/x,q(x)=2x^2.

    本例中,p(x)=1/x,q(x)=sinx/x.

    本例中,先要將y'前面的係數x變形除後,得到:p(x)=1/x,q(x)=e^x/x.

    本例中,p(x)=-a,q(x)=e^mx.

    此例中,要反過來用一階非齊次線性微分方程的通解公式,其中:p(y)=-3/y,q(y)=-y/2.

    三、用公式求特解情況舉例

    本例中p(x)=1/x,q(x)=4/x,求滿足y(x=1)=0時的特解。

    本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3,q(x)=1,求滿足y(x=1)=0時的特解。

    四、二階微分方程可使用通式求解舉例

    y''+y'/x=4,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=1/x,Q=4。

    y''=y'+x,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=-1,Q=x。

    xy''+y'=lnx,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=1/x,Q=lnx/x.

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