回覆列表
-
1 # 愛吃肉的光頭
-
2 # 髒話比謊話乾淨558
本文介紹一階非齊次線性微分方程的通解的應用、特解求解舉例,以及二階微分方程可用該通解求解的情形。
一、方程通解公式
一階非齊次線性微分方程的解析式為:y'+p(x)=q(x),
則其通解表達式如下:y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.

二、通解公式的實際應用

本例中,p(x)=2x,q(x)=4x.

本例中,p(x)=-1/x,q(x)=2x^2.

本例中,p(x)=1/x,q(x)=sinx/x.

本例中,先要將y'前面的係數x變形除後,得到:p(x)=1/x,q(x)=e^x/x.

本例中,p(x)=-a,q(x)=e^mx.

此例中,要反過來用一階非齊次線性微分方程的通解公式,其中:p(y)=-3/y,q(y)=-y/2.
三、用公式求特解情況舉例

本例中p(x)=1/x,q(x)=4/x,求滿足y(x=1)=0時的特解。

本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3,q(x)=1,求滿足y(x=1)=0時的特解。
四、二階微分方程可使用通式求解舉例

y''+y'/x=4,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=1/x,Q=4。

y''=y'+x,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=-1,Q=x。

xy''+y'=lnx,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=1/x,Q=lnx/x.
介紹一階非齊次線性微分方程的通解的應用、特解求解舉例,以及二階微分方程可用該通解求解的情形。
一、方程通解公式
一階非齊次線性微分方程的解析式為:y'+p(x)=q(x),
則其通解表達式如下:y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.
二、通解公式的實際應用
本例中,p(x)=2x,q(x)=4x.
本例中,p(x)=-1/x,q(x)=2x^2.
本例中,p(x)=1/x,q(x)=sinx/x.
本例中,先要將y'前面的係數x變形除後,得到:p(x)=1/x,q(x)=e^x/x.
本例中,p(x)=-a,q(x)=e^mx.
此例中,要反過來用一階非齊次線性微分方程的通解公式,其中:p(y)=-3/y,q(y)=-y/2.
三、用公式求特解情況舉例
本例中p(x)=1/x,q(x)=4/x,求滿足y(x=1)=0時的特解。
本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3,q(x)=1,求滿足y(x=1)=0時的特解。
四、二階微分方程可使用通式求解舉例
y''+y'/x=4,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=1/x,Q=4。
y''=y'+x,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=-1,Q=x。
xy''+y'=lnx,此時先對y'按照通式公式來求解,再對y'積分求解得到y,通解中含有兩個常數係數c1和c2,此時P=1/x,Q=lnx/x