當A可逆時， 若 λ是A的特徵值， α 是A的屬於特徵值λ的特徵向量；則 |A| / λ 是 A*的特徵值， α 仍是A*的屬於特徵值 |A| / λ 的特徵向量。

設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式Ax=λx成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣A特徵值，非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。

式Ax=λx也可寫成( A-λE)X=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式| A-λE|=0。

設A是數域P上的一個n階矩陣，λ是一個未知量，

稱為A的特徵多項式，記¦(λ)=|λE-A|，是一個P上的關於λ的n次多項式，E是單位矩陣。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一個n次代數方程，稱為A的特徵方程。特徵方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)稱為A的特徵根(或特徵值)。n次代數方程在複數域內有且僅有n個根，而在實數域內不一定有根，因此特徵根的多少和有無，不僅與A有關，與數域P也有關。

以A的特徵值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程組(λ0E-A)X=θ，是一個齊次方程組，稱為A的關於λ0的特徵方程組。因為|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解

，

稱為A的屬於λ0的特徵向量。所有λ0的特徵向量全體構成了λ0的特徵向量空間。

伴隨矩陣的特徵值

性質1：n階方陣A=(aij)的所有特徵根為λ1，λ2，…,λn(包括重根)，則：

性質2：若λ是可逆陣A的一個特徵根，x為對應的特徵向量，則1/λ 是A的逆的一個特徵根，x仍為對應的特徵向量。

性質3：若 λ是方陣A的一個特徵根，x為對應的特徵向量，則λ 的m次方是A的m次方的一個特徵根，x仍為對應的特徵向量。

性質4：設λ1，λ2，…,λm是方陣A的互不相同的特徵值。xj是屬於λi的特徵向量( i=1,2,…,m)，則x1,x2,…,xm線性無關，即不相同特徵值的特徵向量線性無關。

如將特徵值的取值擴展到複數領域，則一個廣義特徵值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B為矩陣。其廣義特徵值（第二種意義）λ 可以通過求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）構成形如A-λB的矩陣的集合。其中特徵值中存在的複數項，稱為一個“叢(pencil)”。

若B可逆，則原關係式可以寫作

，也即標準的特徵值問題。當B為非可逆矩陣（無法進行逆變換）時，廣義特徵值問題應該以其原始表述來求解。

如果A和B是實對稱矩陣，則特徵值為實數。這在上面的第二種等價關係式表述中並不明顯，因為

A矩陣未必是對稱的。

如果0是矩陣A的一個特徵值，則0也是伴隨矩陣A*的一個特徵值；

如果k是矩陣A的一個非零特徵值，則存在非零向量a: Aa=ka

則 A*Aa=kA*a

|A|a=kA*a

A*a=(|A|/k)a

|A|/k 是A*的一個特徵值。

擴展知識

特徵值矩陣一般指矩陣特徵值。設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是矩陣A的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。

伴隨矩陣的特徵值是原矩陣特徵值分之矩陣的行列式也就是|A|/入