在線性代數中，一個方形矩陣的伴隨矩陣（英語：adjugate matrix）是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆，那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數。然而，伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義，並且不需要用到除法。A的伴隨矩陣記作adj(A)，或A*。

設R是一個交換環，A是一個以R中元素為係數的n×n的矩陣。A的伴隨矩陣可按如下步驟定義：

定義：A關於第i行第j列的餘子式（記作Mᵢⱼ）是去掉A的第i行第j列之後得到的(n−1)×(n−1)矩陣的行列式。

定義：A關於第i行第j列的代數餘子式是：

Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ。

定義：A的餘子矩陣是一個n×n的矩陣C，使得其第i行第j列的元素是A關於第i行第j列的代數餘子式。

引入以上的概念後，可以定義：矩陣A的伴隨矩陣是A的餘子矩陣的轉置矩陣：

adj(A)=Cᐪ，

也就是說，A的伴隨矩陣是一個n×n的矩陣（記作adj(A)），使得其第i行第j列的元素是A關於第j行第i列的代數餘子式。簡言之，伴隨矩陣就是把原來矩陣每一行的代數餘子式豎著寫：

[adj(A)]ᵢⱼ=Cⱼᵢ。

運算關系：矩陣的伴隨矩陣和代數餘子式之間一一對應。

驗證：

以三階方陣為例，運算如下：

A=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

則A=

A11 A21 A31A12 A22 A32

A13 A23 A33

其中Aij是aij對應的代數餘子式。

擴展資料：

現代線性代數

現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為 n 的向量空間叫做n 維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴展到這些高維空間。

儘管許多人不容易想象n 維空間中的向量，這樣的向量（即n 元組）用來表示數據非常有效。由於作為 n 元組，向量是n 個元素的“有序”列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱數據。比如，在經濟學中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生產總值（GNP）。

當所有國家的順序排定之後，比如（中國、美國、英國、法國、德國、西班牙、印度、澳洲），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）顯示這些國家某一年各自的 GNP。這裡，每個國家的 GNP 都在各自的位置上。

作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬於抽象代數的一部分，而且已經非常好地融入了這個領域。

一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環。線性代數也在數學分析中扮演重要角色，特別在 向量分析中描述高階導數，研究張量積和可交換映射等領域。

向量空間是在域上定義的，比如實數域或複數域。線性算子將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。

如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數表，稱為矩陣。對矩陣性質和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特徵向量）也被認為是線性代數的一部分。

我們可以簡單地說數學中的線性問題——-那些表現出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學研究很多函數線性近似的問題。在實踐中與非線性問題的差異是很重要的