平方和的推導利用立方公式：

(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①

記Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2

對①式從1~n求和，得：

∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1

(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n

這就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6

類似地，求立方和利用4次方公式：

(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1

例如：

2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1

3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1

4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1

去掉中間步，將右邊第一項移到左邊得：

2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1

3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1

4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1

兩邊分別相加

(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3

整理即得

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

擴展資料：

常見數列求和的方法：

1、公式法：

等差數列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比數列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2、錯位相減法

適用題型：適用於通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式 { an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)

3、裂項法

適用於分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然後累加時抵消中間的許多項。