y=sin²3x

由3個函數複合而成

由內到外分別是：

v=3x (正比例函數）

u=sinv(正弦函數）

y=u² (二次函數）

y=u² 是u（x）的平方

u=sin3x u（x）=sin3x

知道複合過程對求值域，定義域 或者求導都很有幫助

值域為 u（x）最大為1 最小為-1

那麼u²的最大為1 最小為0

那麼y的最大為1 最小為0

y=A^2,A=sinB,B=3x

y=u² 是u（x）的平方

u=sin3x u（x）=sin3x

知道複合過程對求值域，定義域 或者求導都很有幫助

值域為 u（x）最大為1 最小為-1

那麼u²的最大為1 最小為0

那麼y的最大為1 最小為0

y(u)=u^2

u(v)=sinv

v(x)=3x

複合函數，是按一定次序把有限個函數合成得到的函數，對兩個函數f：A關於函數的複合運算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)確定的函數h稱為f與g的複合函數，記為g·f。這樣，g·f是A到C的函數，(g·f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，記號“·”表示兩個函數的複合，它是二元運算.這個運算不滿足交換律，即一般來說g·f≠f·g，但它滿足結合律：對f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h·(g·f)=(h·g)·f，于是可以定義h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f。

一般地，對n+1個滿足Bi⊆Ai+1(i=1，2，…，n)的函數fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定義n重複合函數fn+1·fn·…·f1，任給兩個函數f：A→B，g：C→D，當且僅當f(A)⊆C時可以得到複合函數g·f：A→D；當且僅當g(C)⊆A時可以得到f·g：C→B，當函數用變量表示為t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含於g的定義域時，稱t為複合函數y=g(f(x))的中間變量，函數的複合是研究函數的一種工具，一方面它提供了構造各式各樣的新函數的方法；另一方面，為研究複雜的函數，常將它們看成一些簡單函數的複合(求函數的導數時常這樣做)。

指出下列函數複合過程

1.y=cosx²

2.y=sin^5x

3.y=e^cos3x

4.y=ln[arctan√(1+x²)]

參考答案

1、y=cosu,u=x²;

2、y=sinu,u=5x;

3、y=e^u,u=cosv,v=3x;

4、y=lnu,u=arctanv,v=√t,t=1+x²