記住,三角形有多個解的情況只會出現在兩邊及一邊的對角的情況,也就是說題目給了你兩條邊以及其中一條邊的對角,你才需要去考慮有沒有解的問題.而對於這種情況,請你不要用,聽清楚,不要用正弦定理去考慮有沒有解.因為你記不住規律.那怎麼辦呢?用餘弦定理.我設題目給了∠A,a,b,滿足兩邊和一邊的對角吧?這時候根據餘弦定理,有以下關係式:a²=b²+c²-2bccosA因為c是未知數,是你要求的量,我整理一下上面的式子,變成:c²-2bcosA*c+b²-a²=0你會發現這就變成了關於c的一元二次方程,所以三角形是否有解,有幾個解,全在於這個一元二次方程的正數解的個數對不對?也就是說這個方程有幾個正數解(因為邊長是正數,你解方程解出來的負數或0不能要),三角形就有幾個.你在做題的時候只要掌握到這裡,就夠了,下面我寫的是書上那些結論的推導過程,可看可不看.-----------------------------------------------------------一元二次方程解的個數是你會做的,判別式Δ=4b²cos²A-4(b²-a²)=4(a²-b²sin²A).要判斷Δ與0的關系,相當於要判斷a²與b²sin²A的關系,也就是判斷a與bsinA的關系.①當a=bsinA時,Δ=0,所以方程只有一個解,和書本一致②當a>bsinA時,Δ>0,方程有兩個解③當a<bsinA時,Δ<0,方程無解,這也是書上寫的.繼續看第②種情形,方程有兩個解,這兩個解有可能全是正數,也有可能一正一負,那麼會不會兩個都是負數呢?不會.為什麼?根據韋達定理,c1+c2=2bcosA,c1c2=b²-a².如果c1,c2都是負數,則有c1+c2<0,c1c2>0,也就是cosA<0,b>a.而cosA<0表示A是鈍角,既然A是鈍角,根據大角對大邊,a應該是最長的邊吧?那麼b>a不可能成立,所以c1和c2不會同時為負數.再看,如果c1,c2都是正數,c1+c2>0,c1c2>0,有A是銳角,b>a,所以就有了書上寫的當bsinA<a<b時,有兩個解.如果c1和c2是一正一負,三角形只有一個.既然是一正一負,c1c2<0,而c1+c2可能是正也可能是負,對應A可能是銳角也可能是鈍角.但無論A是銳角還是鈍角,b<a是肯定的,所以你看書上寫的,無論A是銳角還是鈍角,當a>b時,一定只有一個解.最後再來,因為我剛才說的都是a>b或者a<b,沒有出現過a=b的情況.那麼當a=b時,b²-a²=0,所以剛才的一元二次方程就變成c²-2bcosA*c=0.顯然c=0是方程的一個解(要捨去),另一個解是c=2bcosA,所以如果A是銳角,那麼c=2bcosA>0,三角形有一個解.而如果A是直角或鈍角,那麼當a=b時,無解.
記住,三角形有多個解的情況只會出現在兩邊及一邊的對角的情況,也就是說題目給了你兩條邊以及其中一條邊的對角,你才需要去考慮有沒有解的問題.而對於這種情況,請你不要用,聽清楚,不要用正弦定理去考慮有沒有解.因為你記不住規律.那怎麼辦呢?用餘弦定理.我設題目給了∠A,a,b,滿足兩邊和一邊的對角吧?這時候根據餘弦定理,有以下關係式:a²=b²+c²-2bccosA因為c是未知數,是你要求的量,我整理一下上面的式子,變成:c²-2bcosA*c+b²-a²=0你會發現這就變成了關於c的一元二次方程,所以三角形是否有解,有幾個解,全在於這個一元二次方程的正數解的個數對不對?也就是說這個方程有幾個正數解(因為邊長是正數,你解方程解出來的負數或0不能要),三角形就有幾個.你在做題的時候只要掌握到這裡,就夠了,下面我寫的是書上那些結論的推導過程,可看可不看.-----------------------------------------------------------一元二次方程解的個數是你會做的,判別式Δ=4b²cos²A-4(b²-a²)=4(a²-b²sin²A).要判斷Δ與0的關系,相當於要判斷a²與b²sin²A的關系,也就是判斷a與bsinA的關系.①當a=bsinA時,Δ=0,所以方程只有一個解,和書本一致②當a>bsinA時,Δ>0,方程有兩個解③當a<bsinA時,Δ<0,方程無解,這也是書上寫的.繼續看第②種情形,方程有兩個解,這兩個解有可能全是正數,也有可能一正一負,那麼會不會兩個都是負數呢?不會.為什麼?根據韋達定理,c1+c2=2bcosA,c1c2=b²-a².如果c1,c2都是負數,則有c1+c2<0,c1c2>0,也就是cosA<0,b>a.而cosA<0表示A是鈍角,既然A是鈍角,根據大角對大邊,a應該是最長的邊吧?那麼b>a不可能成立,所以c1和c2不會同時為負數.再看,如果c1,c2都是正數,c1+c2>0,c1c2>0,有A是銳角,b>a,所以就有了書上寫的當bsinA<a<b時,有兩個解.如果c1和c2是一正一負,三角形只有一個.既然是一正一負,c1c2<0,而c1+c2可能是正也可能是負,對應A可能是銳角也可能是鈍角.但無論A是銳角還是鈍角,b<a是肯定的,所以你看書上寫的,無論A是銳角還是鈍角,當a>b時,一定只有一個解.最後再來,因為我剛才說的都是a>b或者a<b,沒有出現過a=b的情況.那麼當a=b時,b²-a²=0,所以剛才的一元二次方程就變成c²-2bcosA*c=0.顯然c=0是方程的一個解(要捨去),另一個解是c=2bcosA,所以如果A是銳角,那麼c=2bcosA>0,三角形有一個解.而如果A是直角或鈍角,那麼當a=b時,無解.