拋物線法（辛普森（Simpson）法）是“以曲代曲”，把曲邊換成二次函數的曲線.“以直代曲”必有損失，而“以曲代曲”顯得更加合理和精細.具體步驟：把區間[a,b]等分，即用分點a=x0,x1,x2,⋯,xn=b將[a,b]分成n個長度相等的小區間，每個小區間的長為：Δx：=Δxi=b−an. 記f(xi)=yi. 點(xi,yi)記作Mi(i=0,1,2,⋯,n).

矩形法和梯形法分別是用矩形和梯形的面積來近似計算每個小分塊上的面積，都是“以直代曲”，把曲邊換直線段.

拋物線法（辛普森（Simpson）法）是“以曲代曲”，把曲邊換成二次函數的曲線.

“以直代曲”必有損失，而“以曲代曲”顯得更加合理和精細.

具體步驟：把區間等分，即用分點 將分成個長度相等的小區間，每個小區間的長為. 記. 點記作.

用過三點的曲線用拋物線 代替. 經推導（具體推導見下面）可得，以此拋物線為曲邊，以 為底的曲邊梯形面積為



取為偶數，得到定積分的近似值為



以拋物線為曲邊的小曲邊梯形面積推導：拋物線過三點，故



以 為底的曲邊梯形的面積為



以上用到為和的中點，即，以及區間是等分的，即.

上面用到的定積分計算公式，若你此時還未學牛頓-萊布尼茨公式，可按定積分定義計算.

可使用Matlab內置函數quad(FUN,A,B)用拋物線法計算定積分.

本來要求左圖灰色由曲邊  圍成的小曲邊梯形的面積.

我們假設可以用一個相對簡單的一元二次函數  ，由它做成的曲邊代替真實的曲邊  ，現在問題轉化成了求右圖淺色部分的曲邊梯形的面積.

而淺色部分的面積由冪函數的定積分和積分的線性性可以得到.

此法的巧妙：對於用來逼近  的函數 ，我們實際上是“設而不求”，並沒有直接求出  ，而只是借助它們的關系，最終用了三個點的縱坐標把淺色部分面積計算了出來.

((a+b)/2,f((a+b)/2)),(b,f(b)),求一條拋物線,過這三個點,這就是插值.插值的方法很多,不論用哪個插值方法,最終結果都是一樣的,其中比較容易理解的是拉格朗日插值（很遺憾,這個不太適合計算,但別的插值法這裡講不清楚,因為要先講一堆概念）.

[a,b]的中點用c表示：

構造多項式P(x)=(x-a)(x-c)f(b)/[(b-a)(b-c)]+(x-a)(x-b)f(c)/[(c-a)(c-b)]+(x-c)(x-b)f(a)/[(a-c)(a-b)]

不知你能不能看出來,這個多項式是二次的,並且將a代入後正好結果是f(a),b代入後為f(b),c代入後為f(c),下面就用這個多項式來代替f(x),從a到b做積分,積分完的結果就是那個公式了.當然這個積分計算十分麻煩,實際推導的時候用的不是這個公式,用的是牛頓插值公式.

牛頓插值公式與拉格朗日插值公式本質是一樣的,但形式不同,計算要簡單多了

先用定積分的定義來推導一下曲邊梯形的面積 然後代入就可以了