作頂角為36°、腰長為1 的等腰三角形ABC, BD為其底角B的平分線，

設AD = x 則AD = BD = BC = x, DC = 1 - x.

由相似三角形得：x2 = 1 - x

∴x = (√ 5 - 1)/2

∴sin18° = x/2 = (√5 - 1)/4.

∵sin36°＝cos54°

即sin（2×18°）＝cos（3×18°）

2sin18°cos18°＝4(cos18°)^3－3cos18°

∵cos18°≠0

∴2sin18°＝4(cos18°)^2－3

整理得4(sin18°)＾2＋2sin18°－1＝0

解得sin18°＝（√5－1）/4

如果角α的度數為有理數，則α的三角函數值都是代數數，其中少部分是有理數。



一般規律附圖

中學常見0°、30°、45°、60°、90°及它們的誘導角的三角函數值需牢記並熟練運用。

題目一：求sin(15°)的值

解：由sin(15°)=sin(45°-30°)知，用正弦差角公式



得sin(15°)=sin(45°-30°)

=sin(45°)cos(30°)-cos(45°)sin(30°)

=√2/2x√3/2-√2/2x1/2=(√6-√2)/4

易得cos(75°)=sin(15°)=(√6-√2)/4

可求cos(15°)=sin(75°)=(√6+√2)/4

可求tan(15°)=sin(15°)/cos(15°)=2-√3

tan(75°)=sin(75°)/cos(75°)=2+√3

題目二：求sin(18°)的值

利用兩個公式



餘弦二倍角公式之一



正弦三倍角公式

解：設sin(18°)=x(0<x<1)，

等式cos(36°)=sin(54°)的左邊用餘弦二倍角公式，右邊用正弦三倍角公式變形得

1-2x^2=3x-4x^3即4x^3-2x^2-3x+1=0

因式分解得(x-1)(4x^2+2x-1)=0

解得x=sin(18°)=(√5-1)/4

為便於記憶：

sin(18°)等於是黃金數(√5-1)/2的一半。

易得sin(18°)=cos(72°)=(√5-1)/4

注：cos(18°)=sin(72°)=√(10+2√5)/4比較難求