拉鍊定理：數列 收斂的充要條件是它的兩個子數列 和 收斂並且極限值相同.
以例題為例，分析基於拉鍊定理的遞推數列極限存在性證明思路與步驟：
例：驗證數列
逼近方程 在 附近的根.
【分析】通過分析它的前幾項的值：
發現數列的前5項的大小關系為
{x_2}< {x_3} >{x_4}< {x_5} >\cdots " data-formula-type="block-equation">
因此，無法判定它們的單調性. 但有界性容易得到，即有 ，或可以得到 .
其實，這個例題也可以借助單調有界原理來進行證明。雖然該數列整體上不具有單調性，但是通過觀察發現，它的奇數項構成的子數列和偶數項構成的子數列具有可能的單調性。那麼，這個結論是不是成立，我們可以驗證一下：
首先，藉助於數列的遞推關係式，可得兩數列的描述形式有：
對於數列 :
藉助於遞推關係式，可得
所以由數學歸納法可得數列單調遞減，又由於有界，所以極限存在。從而有
{x_2} = {1 \over 2} " data-formula-type="block-equation">
所以由數學歸納法可得數列單調遞增，又由於有界，所以極限存在。從而有
由於 和 分別為數列 的奇數項構成的數列和偶數項構成的數列，它們的極限存在並且相等，所以由數列極限的拉鍊定理，可得原數列極限存在，並且就等於它們的極限值。並且這個極限值就為方程 在 附近的根.
【注1】：這個證明過程與出現的數列的項的值，正好與我們在有些參考書上看到的，驗證由斐波那契數列的項 構成的一個比值數列 的極限存在性和求極限值的問題一樣，只不過這裡的數列的項為 。它們兩者只要一個存在並能求得極限值，當然另外一個也存在並且極限值互為倒數。
數列 的遞推公式借助斐波那契數列遞推公式 可以得到：
【注2】：這樣的數列的一個特徵是間隔一項具有單調性：如
【注3】：斐波那契數列是由如下遞推公式確定的數列：
拉鍊定理：數列 收斂的充要條件是它的兩個子數列 和 收斂並且極限值相同.
以例題為例，分析基於拉鍊定理的遞推數列極限存在性證明思路與步驟：
例：驗證數列
逼近方程 在 附近的根.
【分析】通過分析它的前幾項的值：
發現數列的前5項的大小關系為
{x_2}< {x_3} >{x_4}< {x_5} >\cdots " data-formula-type="block-equation">
因此，無法判定它們的單調性. 但有界性容易得到，即有 ，或可以得到 .
其實，這個例題也可以借助單調有界原理來進行證明。雖然該數列整體上不具有單調性，但是通過觀察發現，它的奇數項構成的子數列和偶數項構成的子數列具有可能的單調性。那麼，這個結論是不是成立，我們可以驗證一下：
首先，藉助於數列的遞推關係式，可得兩數列的描述形式有：
對於數列 :
藉助於遞推關係式，可得
所以由數學歸納法可得數列單調遞減，又由於有界，所以極限存在。從而有
對於數列 :
{x_2} = {1 \over 2} " data-formula-type="block-equation">
藉助於遞推關係式，可得
所以由數學歸納法可得數列單調遞增，又由於有界，所以極限存在。從而有
由於 和 分別為數列 的奇數項構成的數列和偶數項構成的數列，它們的極限存在並且相等，所以由數列極限的拉鍊定理，可得原數列極限存在，並且就等於它們的極限值。並且這個極限值就為方程 在 附近的根.
【注1】：這個證明過程與出現的數列的項的值，正好與我們在有些參考書上看到的，驗證由斐波那契數列的項 構成的一個比值數列 的極限存在性和求極限值的問題一樣，只不過這裡的數列的項為 。它們兩者只要一個存在並能求得極限值，當然另外一個也存在並且極限值互為倒數。
數列 的遞推公式借助斐波那契數列遞推公式 可以得到：
【注2】：這樣的數列的一個特徵是間隔一項具有單調性：如
【注3】：斐波那契數列是由如下遞推公式確定的數列：