從代數上來說：

一元二次方程是一個未知數有兩個答案的問題，有時退化為一個答案，或沒有答案(無解)。

二次函數是兩個未知數，或說兩個變量，二次函數是指它們的對應關系。其中一個變量給出一個值，另一個變量可以有兩個對應的數值，或一個，或沒有。前者稱為因變量，通常用Y表示；後者稱為自變量，通常用X表示。

自變量的取值範圍稱為定義域，因變量的取值範圍稱為（函數的）值域。一般來說，定義域不受限制，任何二次函數的值域都是有限制的。

對於一個給定的函數值，二次函數就退化為一個一元二次方程。

從解析幾何上來說：

二次函數是一條拋物線，它的一般形式是 y = ax^2 + bx + c, 當 a>0 時，它是開口向上的拋物線，當 a < 0 時，它是開口向下的拋物線。二次函數與 x 軸可能有兩個交點，可能有一個切點，可能沒有交點，也沒有切點。當 y = 0，二次曲線 y = ax^2 + bx + c 與 x 軸的交點就成了二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解。

一個二次方程 ax^2 + bx + c = 0 如果有解，它的解是固定的，也就是說二次函數所描繪的二次曲線 y = ax^2 + bx + c 與 x 軸的交點是固定的。可是二次函數卻可以改變，也就是說，過 x 軸上兩個固定點的二次曲線可以有無數個。

概括來說，在坐標幾何上(Coordinate Geometry = Analytical Geometry 解析幾何)：

1、二次方程表述的至多只是兩個點，而經過這兩個點的二次函數的曲線可以有無限多個。藉助於其中的任何一個多可以得到二次方程的解。

2、二次曲線所描繪的是無數個點的集合(Set),或軌跡(Locus)。是一條曲線。

舉例來說：

二次方程 (x - 2)(x - 3) = 0 有兩個解： x = 2, 或 x = 3

藉助於二次函數 y = (x - 2)(x - 3) 的圖形，可以得到 x = 2, 或 x = 3；

藉助於二次函數 y = 2(x - 2)(x - 3) 的圖形，也可得到 x = 2, 或 x = 3；

藉助於二次函數 y = 3(x - 2)(x - 3) 的圖形，也以得到 x = 2, 或 x = 3；

藉助於二次函數 y = 4(x - 2)(x - 3) 的圖形，也以得到 x = 2, 或 x = 3；