齊次線性方程組基礎解系是方程組解向量空間的極大無關組，當然是線性無關的

有可疑之處就是當方程只有零解時，即解空間只有一個向量----零向量時，此時沒有極大無關組，可認為不存在基礎解系

總的來說，只要有基礎解系，那麼它就是線性無關的。

η1,η2.ηk 是基礎解系.所以η1,η2.ηk線性無關.

（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）=（η0,η1,η2.ηk ）

所以證明（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）無關也就是證明（η0,η1,η2.ηk ）無關,

我們知道,如果a1,a2.an無關,而a1,a2.an,β相關,則β可以由a1,a2.an表示,且表示法唯一.

反證法：設（η0,η1,η2.ηk ）相關,又因為η1,η2.ηk線性無關.則η0可以由

η1,η2.ηk線性表示,且表示法唯一.

顯然,其次方程組Ax=0的基礎解系,不一定能表示非其次方程組Ax=b的特解.所以矛盾.

（假設非其次方程組一個特解為b,其次方程組通解為k1a1+k2a2,則非其次方程組的通解為

k1a1+k2a2+b,如果b可以被a1,a2表示,則通解可以化為k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2,這其實是其次方程組Ax=0的解,而不是非其次方程組Ax=b的解）

則（η0,η1,η2.ηk ）無關,則（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）無關.

擴展資料

性質

1.齊次線性方程組的兩個解的和仍是齊次線性方程組的一組解。

2.齊次線性方程組的解的k倍仍然是齊次線性方程組的解。

3.齊次線性方程組的係數矩陣秩r(A)=n，方程組有唯一零解。

齊次線性方程組的係數矩陣秩r(A)<n,方程組有無數多解。

4. n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其係數行列式為零。等價地，方程組有唯一的零解的充要條件是係數矩陣不為零。（克萊姆法則）