行列式的一個重要性質，設D1＝|aij|，D2＝|bij|是數域P上的兩個n階行列式，則D1與D2的乘積D1D2＝|cij|，其中cij＝ai1b1j+ai2b2j+……+ainbnj(i，j=1，2，…，n)，即乘積D1D2中的第i行、第j列的元素cij為D1的第i行元素與D2的第j列對應元素乘積的和。此相乘規則簡稱行乘列。

行列式性質

①行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於kA。

②行列式A等於其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

④行列式A中兩行（或列）互換,其結果等於-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。

相關規則

乘法結合律：(AB)C=A(BC)

乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC

乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB

對數乘的結合性k(AB ..........

公式：A^i1=(A*)/|A|；A*代表伴隨矩陣，|A|代表矩陣行列式，A^-1代表逆矩陣。逆矩陣： 設A是數域上的一個n階方陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E。 則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。

假設三階矩陣A，用A的伴隨矩陣除以A的行列式，得到的結果就是A的逆矩陣。

具體求解過程如下：

對於三階矩陣A：

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

行列式：

|A|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31；

伴隨矩陣：A*的各元素為

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

A11 = (-1)^2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32

A12 = (-1)^3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31

A13 = (-1)^4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31

A21 = (-1)^3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32

……

A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21

所以得到A的伴隨矩陣：

A11/|A| A12/|A| A13/|A|

A21/|A| A22/|A| A23/|A|

A31/|A| A32/|A| A33/|A|