兩個平面平行，在一個平面內的任意一條直線平行於另外一個平面。

證明：設α∥β，a⊂α，則a∥β

∵α∥β

∴α與β無交點

又∵a⊂α

∴a與β無交點

即a∥β

如果直線和平面沒有交點，那直線就和平面平行。

現在兩個平面平行，那麼其中一個平面上的直線必然和另一個平面無公共點，因為如果有公共點，那麼這兩個平面就有了公共點，就不可能平行了。所以其中一個平面上的直線必然和另一個平面平行。

線與平面平行的判定定理為：利用定義：證明直線與平面無公共點；利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行；利用面面平行的性質：兩個平面平行，則一個平面內的直線必平行於另一個平面。



線面平行判斷定理

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求證：a∥α反證法證明：假設a與α不平行，則它們相交，設交點為A，那麼A∈α

∵a∥b，∴A不在b上

在α內過A作c∥b，則a∩c=A

又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，與a∩c=A矛盾。

∴假設不成立，a∥α

向量法證明：設a的方向向量為a，b的方向向量為b，面α的法向量為p。∵b⊂α

∴b⊥p，即p·b=0

∵a∥b，由共線向量基本定理可知存在一實數k使得a=kb

那麼p·a=p·kb=kp·b=0

即a⊥p

∴a∥α

平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求證：a∥α證明：設a與b的垂足為A，b與α的垂足為B。

假設a與α不平行，那麼它們相交，設a∩α=C，連接BC由於不在直線上的三個點確定一個平面，因此ABC首尾相連得到△ABC

∵B∈α，C∈α，b⊥α

∴b⊥BC，即∠ABC=90°

∵a⊥b，即∠BAC=90°

∴在△ABC中，有兩個內角為90°，這是不可能的事情。

∴假設不成立，a∥α