一、定義域

不同的函數的定義域是不同的，一定要把不同函數的定義域都記牢，這樣做題才能清晰有思路，

常見幾種函數的定義域：

（1）分數函數中分式的分母不為零；

（2）偶次方根下的數（或式）大於或等於零；

（3）指數式的底數大於零且不等於一；

（4）對數式的底數大於零且不等於一，真數大於零。

二、值域

求函數的值域也有不同的方法，最常見的有如下幾種：

（1）配方法：求二次函數值域最基本的方法之一。例求函數y=x2-2x+5，x屬於[-1，2]的值域。這道題的最好方法是用配方法，通過完全平方公式配成y=(x-1)2+4,然後根據定義域求最值。

（2）判別式法：對二次函數或者分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用。

（3）反函數法：直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。

（4）函數有界性法：直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。我們所說的單調性，最常用的就是三角函數的單調性。

三、單調性

單調性的重要作用就是推出該函數的導數是否大於0或者小於0，如下面題目的應用：已知a>0，函數f(x)=x3-ax在x>1或等於1上是單調增函數，則a的最大值是（）

這道題可以通過函數的導數解答：設f(x)的導函數為t(x)=3x2-a，因為x大於等於1，所以a的最大值為3。

四、奇偶性

判斷函數奇偶性主要要兩種方法，分別是定義定義域法以及奇偶函數定義法，下面為大家一一介紹：

（1）定義域法：一個函數是奇（偶）函數，其定義域必關於原點對稱，它是函數為奇（偶）函數的必要條件.若函數的定義域不關於原點對稱，則函數為非奇非偶函數。

（2）奇偶函數定義法：在給定函數的定義域關於原點對稱的前提下，計算f（-x），然後根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶性

+k,(h,k)為頂點坐標。

2、交 點 式：當△=b2-4ac≥0時，設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2，則二次函數的解析式可寫為y=a(x-x1)(x-x2),點（x1,0）,(x2,0) 是二次函數的圖象與x 軸的交點。

3、廣義交點式：二次函數的圖象具有軸對稱性，由此我們可知：二次函數圖象上兩點（x1,y1）、（x2,y2）, 若y1=y2=t,則對稱軸為:x= ，此時， 解析式可寫為：y=a(x-x1)(x-x2)+t,這是交點式的推廣。

在用待定係數法求二次函數的解析式時，運用上面的知識，恰當選擇設立解析式，可以開發解題智慧，節省解題力量，提高解題的速度和準確性，達到事半功倍的效果，現舉例如下：

例1、拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩交點的橫坐標是 - 、，與y軸的交點的縱坐標是-5，求拋物線的解析式。（人教版《代數》第三冊P143第8題②小題）。

解法一:由題意可設解析式為交點式:y=a(x+ )(x- )，又因拋物線過點（0，-5），代入上式，立即可求得a= , 故得解。

說明：此法只有一個待定係數a，比設一般式簡單。

解法二：由題意知：ax2+bx+c=0的兩根為- 、，由一元二次方程根與係數的關系得：- ①- ②又由拋物線過點（0，-5） 得c= -5 ③

聯立①、②、③可迅速求得a、b、c 從而得 解。

說明：此法把二次函數與一元二次方程聯繫起來了，關於待定係數a、b、c的三個方程① ② ③解起來也很簡單。

例2：一條拋物線y=ax2+bx+c，經過點（0，0），（0，12），最高點的縱坐標是3。求拋物線的解析式。（人教版初中《代數》第三冊P145第7題）

解法一：由題意知：拋物線經過x軸上兩點（0,0）,(12,0)，故可設拋物線的解析式為交點式y=a(x-0)(x-12)，即y=ax(x-12)=ax2-12ax，（a≠0)

“最高點的縱坐標是3”——拋物線的頂點的縱坐標為3。

因此， ，問題得解。

解法二：由於拋物線上兩點（0,0 ）（12,0）的縱坐標相同，由此可知拋物線的對稱軸為： ，即x=6，因此結合題意可知拋物線的頂點為（6,3），故可設拋物線的解析式為頂點式：y=a(x-6)2+3，取點（0,0）或（12，0)代入這個解析式，立即可得 ，問題得解。

例3：已知拋物線經過點（-1，2），（2，2），（1，-2）三點，求拋物線的解析式。

分析，由於點（-1，2）（2，2）的縱坐標相同，因此，可設拋物線的解析式是為廣義交點式：y=a（x+1）（x-2）+2，代入點（1,-2），可求得a=2，問題得解。

總之，求二次函數的解析式，必須透徹理解二次函數與一元二次方程的關系，二次函數的圖象的對稱性等必備知識，充分利用題設條件，合理恰當地選擇設立二次函數的解析式的形式，減少待定係數的個數，達到迅速，準確地解決問題的目的，實現數學素養的提高。