判斷方法：分別考慮左右極限。極限存在的充分必要條件是左右極限都存在，且相等。極限不存在的條件：當左極限與右極限其中之一不存在或者兩個都不存在；左極限與右極限都存在，但是不相等。



1極限的性質

1、唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數列的相等。

2、有界性：如果一個數列’收斂‘（有極限），那麼這個數列一定有界。

但是，如果一個數列有界，這個數列未必收斂。例如數列：“1，-1，1，-1，……，(-1)^n+1”

3、保號性。

4、保不等式性：設數列{xn}與{yn}均收斂。若存在正數N，使得當n>N時有xn≥yn，則（若條件換為xn>yn，結論不變）。

5、和實數運算的相容性：譬如：如果兩個數列{xn}，{yn}都收斂，那麼數列{xn+yn}也收斂，而且它的極限等於{xn}的極限和{yn}的極限的和。

6、與子列的關系：數列{xn}與它的任一平凡子列同為收斂或發散，且在收斂時有相同的極限；數列{xn}收斂的充要條件是：數列{xn}的任何非平凡子列都收斂。

2求極限的6大方法

兩個重要極限。

等價替換。等價替換又稱為等價無窮小替換。

無窮小乘以有界量等於無窮小。

洛必達法則。主要有0/0型和∞/∞兩種類型。

夾逼準則。如果yn<xn<zn，且yn和zn極限都為a，那麼xn極限也為a。同樣的也適用於函數極限，如果h(x)<f(x)<g(x)，且h(x)和g(x)極限都是a，那麼f(x)極限也為a。說白了，就是”兩邊夾中間”。關鍵在於找出兩邊的y和z或者h和g。

單調有界定理。在計算題中，單調有界定理用的不多。但是如果遇到，則因為用的少，就會很容易讓人想不起來。因此，最好記下，時刻提醒自己有這個定理。所謂單調有界定理就是指，單調且有界的數列必有極限，對於函數也一樣，單調且有界的趨近過程也必有極限。

1極限不存在

①極限為無窮大時,極限不存在。

②左右極限不相等。

2極限存在與否的判斷

1、結果若是無窮小，無窮小就用0代入，0也是極限。

2、若是分子的極限是無窮小，分母的極限不是無窮小，答案就是0，整體的極限存在。

3、如果分子的極限不是無窮小，而分母的極限是無窮小，答案不是正無窮大，就是負無窮大，整體的極限不存在。

4、若分子分母各自的極限都是無窮小，那就必須用羅畢達方法確定最後的結果。

3極限的存在準則

有些函數的極限很難或難以直接運用極限運算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。

1.夾逼定理：（1）當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域，有個符號打不出）時，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立

（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那麼，f(x)極限存在，且等於A。不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。

2.單調有界準則：單調增加（減少）有上（下)界的數列必定收斂。

在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數，並且要滿足極限是趨於同一方向，從而證明或求得函數的極限值。

3.柯西準則

數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時，都有|am-an|<ε成立