是求1³+2³+...+n³?

至少有三種方法.

1. 由(n+1)^4-n^4 = 4n³+6n²+4n+1.

n^4-(n-1)^4 = 4(n-1)³+6(n-1)²+4(n-1)+1

(n-1)^4-(n-2)^4 = 4(n-2)³+6(n-2)²+4(n-2)+1

...

2^4-1 = 4·1³+6·1²+4·1+1

求和得(n+1)^4-1 = 4S_3+6S_2+4S_1+n.

只要代入二次方和S_2與一次方和S_1的公式, 就能求出三次方和S_3的公式.

2. 首先有幾個恆等式:

1+2+...+n = n(n+1)/2. (可以裂項2k = k(k+1)-(k-1)k證明).

1×2+2×3+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3. (可以裂項3k(k+1) = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)證明).

1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4. (類似裂項證明).

n³ = n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n, 求和即得.

3. 圖形法. 考慮以1+2+...+n為邊長的正方形.

從左上角開始, 將圖形分割如下.

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4

2 2 2 3 3 3 4 4 4 4

2 2 2 3 3 3 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

1個邊長1正方形, 1+(1/2)·2個邊長2正方形, 3個邊長3正方形, 3+(1/2)·2個邊長4正方形, ...

1³+2³+...+n³ = (1+2+...+n)² = n²(n+1)²/4.

除此之外還有待定係數加數學歸納法, 還有母函數方法等.