極點極線的定理

極點與極線的比例定理及推論 比例定理:若點P關於圓錐曲線G的極線為l,過點P的直線與圓錐曲線G相交於A、B兩點,分別過點A、B作直線l的垂線,垂足分別為D、C,則:. y D 證明:以拋物線G:y2=2px(p>0)為例. A設P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),則極線l:y0y=p(x+x0), C P

=(注意到:y12=2px1,y22=2px2)= B

=(注意到:==k)=,而=,故以下只需證明:=1,即|ky1-p|=|ky2-p|k(y1+y2)=2p,由(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)(注意到:y1-y2=

k(x1-x2))k(y1+y2)=2p,證畢. 推論1(中點性質):若圓錐曲線G過點P的弦AB平行於點P的極線,則點P是弦AB的中點. 證明:分別過點A、B作極線l的垂線,垂足分別為D、C,弦AB平行於點P的極線lAD=BC,由AP:BP=AD:BCAP=BP點P是弦AB的中點. 推論2(平分性質):若點P關於圓錐曲線G的極線為l,過點P的直線與圓錐 y D

曲線G相交於A、B兩點,分別過點A、B、P作直線l的垂線,垂足分別

為D、C、H,則AC與BD的交點M平分PH. H A 證明:因AD:BC=AP:BP,由AD∥BCAD:BC=AM:MCAP:BP=AM:MC C M P

PM∥BCM在PH上;又由PH∥BCPM:BC=AM:AC=DM:DB=MH:BCPM=MH D

極點極線基本定理是A在B的極線上，則B在A的極線上。在數學中，極線通常是一個適用於圓錐曲線的概念，如果圓錐曲線的切於A、B兩點的切線相交於P點，那麼P點稱為直線AB關於該曲線的極點，直線AB稱為P點的極線。但是上面定義僅適用於P點在此圓錐曲線外部的情況。實際上，在P點在圓錐曲線內部的時候同樣可以定義極線，這時我們可以認為極線是過P點做此圓錐曲線兩條虛切線切點的連線。特別的，如果這個圓錐曲線是一個圓，我們同樣有圓的極線和極點的概念。

2.定理

定理0:配極原則

定理1:極點三角形，極線三角形透視。

平幾證明:不妨只考慮圓的情形，由Salmon定理可得冪相等，可得三線交於一點，命題得證(仿佛如是)。

定理2:極點在定直線運動，極線在與此點列射影相關的線束運動。不引起混淆，簡稱為:極點交比等於極線交比。