∫ (sin^4x)*(cos^2x) dx=1/16*x-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C
解:∫ (sin^4x)*(cos^2x) dx
=∫ ((1-cos2x)/2)^2*((cos2x+1)/2) dx
=1/8∫ (1-cos2x))^2*(1+cos2x) dx
=1/8∫ (1-cos2x-(cos2x)^2+(cos2x)^3) dx
=1/8∫ 1 dx-1/8∫ cos2x dx-1/8∫ (cos2x)^2 dx+1/8∫ (cos2x)^3 dx
=1/8*x-1/16*sin2x-1/8∫ (cos4x+1)/2 dx+1/8∫ (1-(sin2x)^2)*cos2x dx
=1/8*x-1/16*sin2x-1/64*sin4x-1/16*x+1/16∫ (1-(sin2x)^2)dsin2x
=1/8*x-1/16*sin2x-1/64*sin4x-1/16*x+1/16*sin2x-1/48*(sin2x)^3+C
=1/16*x-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C
擴展資料:
1、不定積分的性質
(1)函數的和(差)的不定積分等於各個函數的不定積分的和(差)。即:
∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx
(2)求不定積分時,被積函數中的常數因子可以提到積分號外面來。即:
∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx
2、不定積分公式:∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、
3、三角函數變換公式:sin2A=2sinAcosA、cos2A=2*(cosA^2)-1=1-2(sinA)^2
4、例題
(1)∫4*cosxdx=1/4*sinx+C
(2)∫2*sinxdx=-1/2*cosx+C
(3)4(sinx)^2=2*(1-cos2x)
(4)3(cosx)^2=3/2*(1+cos2x)
∫ (sin^4x)*(cos^2x) dx=1/16*x-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C
解:∫ (sin^4x)*(cos^2x) dx
=∫ ((1-cos2x)/2)^2*((cos2x+1)/2) dx
=1/8∫ (1-cos2x))^2*(1+cos2x) dx
=1/8∫ (1-cos2x-(cos2x)^2+(cos2x)^3) dx
=1/8∫ 1 dx-1/8∫ cos2x dx-1/8∫ (cos2x)^2 dx+1/8∫ (cos2x)^3 dx
=1/8*x-1/16*sin2x-1/8∫ (cos4x+1)/2 dx+1/8∫ (1-(sin2x)^2)*cos2x dx
=1/8*x-1/16*sin2x-1/64*sin4x-1/16*x+1/16∫ (1-(sin2x)^2)dsin2x
=1/8*x-1/16*sin2x-1/64*sin4x-1/16*x+1/16*sin2x-1/48*(sin2x)^3+C
=1/16*x-1/64*sin4x-1/48*(sin2x)^3+C
擴展資料:
1、不定積分的性質
(1)函數的和(差)的不定積分等於各個函數的不定積分的和(差)。即:
∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx
(2)求不定積分時,被積函數中的常數因子可以提到積分號外面來。即:
∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx
2、不定積分公式:∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、
3、三角函數變換公式:sin2A=2sinAcosA、cos2A=2*(cosA^2)-1=1-2(sinA)^2
4、例題
(1)∫4*cosxdx=1/4*sinx+C
(2)∫2*sinxdx=-1/2*cosx+C
(3)4(sinx)^2=2*(1-cos2x)
(4)3(cosx)^2=3/2*(1+cos2x)