先化成√2sin(x+∏/4)

令t=x+∏/4

則等價於求1/sint的積分

dt/sint=dt*sint/sin^2t

=-dcost/(1-cos^2t)

再令cost=s

則等價於-ds/(1-s^2)

這是個初等積分,原函數為0.5[ln(s-1)-ln(s+1)]

最後把上述所有代換代回去,即得原答案

正弦函數 sinθ=y/r

餘弦函數 cosθ=x/r

正切函數 tanθ=y/x

餘切函數 cotθ=x/y

正割函數 secθ=r/x

餘割函數 cscθ=r/y

以及兩個不常用，已趨於被淘汰的函數： 正矢函數 versinθ =1-cosθ 餘矢函數 vercosθ =1-sinθ

同角三角函數間的基本關係式： ·平方關系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·積的關系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒數關系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等於角A的對邊比斜邊, 餘弦等於角A的鄰邊比斜邊 正切等於對邊比鄰邊,

三角函數恆等變形公式 ·兩角和與差的三角函數：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

令tanθ/2=u

則θ=2arctanu

dθ=2du/(1+u )

sinθ=2u/(1+u )

cosθ=(1-u )/(1+u )

原函數=∫1/[2u/(1+u )+(1-u )/(1+u )]2du/(1+u )

=∫2du/[2u+1-u ]

=-2∫du/[u-1) -2]

=-√2/2∫du[1/(u-1-√2)-1/(u-1+√2)]

=-√2/2*ln|(u-1-√2)/(u-1+√2)|+c

=-√2/2*ln|(tanθ/2-1-√2)/(tanθ/2-1+√2)|+c