這個就必須從雙曲線的「定義」「公式」來探討
1.設雙曲線上任意一點的坐標為M(x,y),|F1F2|=2c,並設F1(-c,0),F2(c,0).
2.由兩點間距離公式,得|MF1|=√(x+c)^2+y^2,|MF2|=√(x-c)^2+y^2
3.由雙曲線定義,得|MF1|-|MF2|=±2a,
即√(x+c)^2+y^2 -√(x-c)^2+y^2 =±2a.
4.化簡方程√(x+c)^2+y^2=±2a+√(x-c)^2+y^2
兩邊平方,得(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2±4a√(x-c)^2+y^2,
化簡得:cx-a^2=±√(x-c)^2+y^2
兩邊再平方,整理得(c^2-a^2)x^2-a^2 y^2=a^2 (c^2-a^2).
(為使方程簡化,更為對稱和諧起見.)
5.由2c-2a>0,即c>a,所以c^2-a^2>0.
------------------------------------------------------
在這裡做一個假設【c^2-a^2=b^2】 (b>0),代入上式,得
b^2 x^2 - a^2 y^2 = a^2 b^2,
同除以a^2 b^2:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
也就是常用的雙曲線公式
所以"b"這個值基本上是被定義出來的
原本雙曲線為:x^2/a^2 - y^2/c^2-a^2 = 1
如果假設c^2-a^2=b^2 ( 即 c^2 = a^2 + b^2 )
雙曲線公式可以簡化成 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
橢圓亦是同理
如果有問題可以再詢問 :)
這個就必須從雙曲線的「定義」「公式」來探討
1.設雙曲線上任意一點的坐標為M(x,y),|F1F2|=2c,並設F1(-c,0),F2(c,0).
2.由兩點間距離公式,得|MF1|=√(x+c)^2+y^2,|MF2|=√(x-c)^2+y^2
3.由雙曲線定義,得|MF1|-|MF2|=±2a,
即√(x+c)^2+y^2 -√(x-c)^2+y^2 =±2a.
4.化簡方程√(x+c)^2+y^2=±2a+√(x-c)^2+y^2
兩邊平方,得(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2±4a√(x-c)^2+y^2,
化簡得:cx-a^2=±√(x-c)^2+y^2
兩邊再平方,整理得(c^2-a^2)x^2-a^2 y^2=a^2 (c^2-a^2).
(為使方程簡化,更為對稱和諧起見.)
5.由2c-2a>0,即c>a,所以c^2-a^2>0.
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在這裡做一個假設【c^2-a^2=b^2】 (b>0),代入上式,得
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b^2 x^2 - a^2 y^2 = a^2 b^2,
同除以a^2 b^2:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
也就是常用的雙曲線公式
所以"b"這個值基本上是被定義出來的
原本雙曲線為:x^2/a^2 - y^2/c^2-a^2 = 1
如果假設c^2-a^2=b^2 ( 即 c^2 = a^2 + b^2 )
雙曲線公式可以簡化成 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
橢圓亦是同理
如果有問題可以再詢問 :)