證明方法：

利用完全平方式可以證明：

完全平方式可表示為(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。

因為（a-b）²≥0，任何數的平方都是大於等於0的，所以：a²+b²-2ab≥0，所以：a²+b²≥2ab。

擴展資料

完全平方式的性質和判定：

在實數範圍內如果　ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式，則b2-4ac=0且a>0；

如果 b2-4ac=0且a>0;則ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式。

在有理數範圍內,當b2-4ac=0且a是有理數的平方時，ax2+bx+c是完全平方式。

一般提到的完全平方式是一個二次三項式a²±2ab+b²，它是一個一次二項式的平方，這樣的二次三項式滿足有兩個平方項，另一項是平方項平方之前的積的2倍。

對於a²+2ab+b²，所對應的一次二項式為a+b或-a-b,

即a²+2ab+b²=（a+b）²

或a²+2ab+b²=（-a-b）²

對於a²-2ab+b²，所對應的一次二項式為-a+b或a-b，

即a²+2ab+b²=（-a+b）²或a²+2ab+b²=（a-b）²

由於（a+b）² =（-a-b）²，（-a+b）² =（a-b）²，所以，可以得到

a²+2ab+b²=（a+b）²，a²-2ab+b²=（a-b）²，和完全平方公式剛好相反。

a²+b²≥2ab是，說明a=b情況。

因為（a-b）²≥0 所以a²+b²-2ab≥0 a²+b²≥2ab 等式成立當且僅當a-b=0，即:a=b

假設矩形的長和寬分別是:a和b 2（a+b）=20 a+b=10 矩形面積=ab 由（1）的結論:

a²+b²≥2ab

（a+b）²-2ab≥2ab

（a+b）²≥4ab

ab≦1/4×10²=25

所以矩形的最大面積為25

，當矩形長和寬相等都為5時。