矩陣可逆從幾何上來說，證明這個矩陣是滿秩的，也就是如果用它的所有行向量線性組合，一定可以鋪滿整個n維空間，如果用它的所有列向量線性組合，也一定可以鋪滿整個n維空間。
（但是這並不證明兩兩行向量之間正交，除非該矩陣不僅可逆，還正交，列也同理。）
在代數上來說，矩陣可逆證明矩陣A和某個矩陣左乘或右乘一定能得到I。換句話說，暗示了矩陣A可以類似於普通代數裡邊，用作分母。
再看和行列式的關系。我們知道，一個矩陣行列之間彼此相加減是不改變行列式的結果的。（而彼此行列想加減的過程，相當於矩陣左乘了一個線性變換矩陣P（也就是行變換），或者是右乘了P（也就是列變換），而且行列相加減的過程對應的線性變換矩陣P必可逆。從而，）矩陣A經過這樣的行列加減變化之後，得到的新矩陣仍然具有可逆性。所以，一個矩陣一定可以通過這樣的行列加減消掉下三角部分，得到新的矩陣A'。（就是高斯消元的過程。）
對於缺少下三角部分的矩陣，行列式很容易求得：行列式就是主對角元的乘積。當且僅當A'是上三角陣，也就是主對角元都不為0，行列式才不為0。
另一方面，要是A'最後有k行全為0了，說明A'不滿秩，由於A'是A通過可逆變換變過來的，所以A也不滿秩，A的稚為(n-k)，也就是不可逆。因此，A要是可逆，得到的A'一定主對角元全都不為0。
所以我們說，行列式不為0是可逆的充要條件。
最後再看可逆和解方程Ax = 0的關系。由高斯消元知，要是A'主對角元上全都不為0，（也就是A可逆，）那麼x具有唯一解，也就是解集是0維空間。要是A'下邊有k行等於0，在則此時方程有一系列解，因為此時只有(n - k)個方程，卻有n個變量，所以可以得到解必然由k個線性無關的向量線性組合得到，也就是解空間是個k維空間，對應地，A的秩僅有(n - k)。
因而，求解Ax = 0的過程，相當於做了這麼一個處理。對於n維空間，A的列向量（必須是列向量）組成了一個(n - k)維不變子空間，（當且僅當k = 0時候，A的列向量組成的空間就是原來的n維空間，也就是此時A可逆，）而Ax = 0的解集是個k維空間。通過分析可以知道，A的列向量空間和解集空間完全沒有交集（當然，除了0向量）。所以，n維空間恰好是A的列向量空間和解空間的直和。
矩陣可逆從幾何上來說，證明這個矩陣是滿秩的，也就是如果用它的所有行向量線性組合，一定可以鋪滿整個n維空間，如果用它的所有列向量線性組合，也一定可以鋪滿整個n維空間。
（但是這並不證明兩兩行向量之間正交，除非該矩陣不僅可逆，還正交，列也同理。）
在代數上來說，矩陣可逆證明矩陣A和某個矩陣左乘或右乘一定能得到I。換句話說，暗示了矩陣A可以類似於普通代數裡邊，用作分母。
再看和行列式的關系。我們知道，一個矩陣行列之間彼此相加減是不改變行列式的結果的。（而彼此行列想加減的過程，相當於矩陣左乘了一個線性變換矩陣P（也就是行變換），或者是右乘了P（也就是列變換），而且行列相加減的過程對應的線性變換矩陣P必可逆。從而，）矩陣A經過這樣的行列加減變化之後，得到的新矩陣仍然具有可逆性。所以，一個矩陣一定可以通過這樣的行列加減消掉下三角部分，得到新的矩陣A'。（就是高斯消元的過程。）
對於缺少下三角部分的矩陣，行列式很容易求得：行列式就是主對角元的乘積。當且僅當A'是上三角陣，也就是主對角元都不為0，行列式才不為0。
另一方面，要是A'最後有k行全為0了，說明A'不滿秩，由於A'是A通過可逆變換變過來的，所以A也不滿秩，A的稚為(n-k)，也就是不可逆。因此，A要是可逆，得到的A'一定主對角元全都不為0。
所以我們說，行列式不為0是可逆的充要條件。
最後再看可逆和解方程Ax = 0的關系。由高斯消元知，要是A'主對角元上全都不為0，（也就是A可逆，）那麼x具有唯一解，也就是解集是0維空間。要是A'下邊有k行等於0，在則此時方程有一系列解，因為此時只有(n - k)個方程，卻有n個變量，所以可以得到解必然由k個線性無關的向量線性組合得到，也就是解空間是個k維空間，對應地，A的秩僅有(n - k)。
因而，求解Ax = 0的過程，相當於做了這麼一個處理。對於n維空間，A的列向量（必須是列向量）組成了一個(n - k)維不變子空間，（當且僅當k = 0時候，A的列向量組成的空間就是原來的n維空間，也就是此時A可逆，）而Ax = 0的解集是個k維空間。通過分析可以知道，A的列向量空間和解集空間完全沒有交集（當然，除了0向量）。所以，n維空間恰好是A的列向量空間和解空間的直和。