一、 什麼是餘數?

E.g 一個飼養員拿7根香蕉分別給了3個小猴，平均每隻小猴2根香蕉，還多1根香蕉，多的這根稱為餘數。

表示：7÷3=2……1

餘數只平均分配完之後剩餘的部分，通常意義上餘的正數稱為正餘數，或者我們也可以說還差2根不夠分，即指餘數為“-2”定義為“負餘數”

正餘數-除數=負餘數 表示“差幾個還可再平均分”

二、 同餘

1、 概念 顧名思義 不同的數除以相同的數所得的餘數相同

E.g 13÷3餘 1 10÷3餘1 可稱13和10對於3同餘。

需注意由於上例中7根香蕉平分給3只小猴，餘1根還差2根可再平均分，故餘“+1”與餘“-2”相對於3亦是相同的。

所以我們稱“1”和“-2”對於3同餘。

2、 同餘特性

1餘數的和決定和的餘數 (餘數的和與和的餘數同餘)

E.g 一堆蘋果有84個平均分給9個小朋友，則

84÷9=9餘2

另一堆蘋果有73個，平均分給9個小朋友，則

73÷9=8餘1

若兩堆合并再平均分給9個小朋友，可得到

(84+73)÷9

直接加和在算餘數比較麻煩，實際仍可一堆一堆分，那麼加和就應餘2+1=3故餘數的和與和的餘數同餘

注：同餘而非相等時存在特殊情況。

E.g 14÷3……2 11÷3……2

那麼(14+11)÷3……1 餘數之和本應為4

然而其實4與1相對於3同餘，所以餘數雖不相等，但卻同餘。

2 餘數的積決定積的餘數

84×74÷9的餘數可直接用84÷9……3

74÷9……2 則84×74÷9餘3×2=6

式的定義】

xx的代數式常用記號f(x)f(x)或g(x)g(x)等表示，如用f(x)f(x)表示代數式2x2+x−32x2+x−3可記為

f(x)=2x2+x−3f(x)=2x2+x−3

【幾個重要定理】

【餘數定理】

多項式f(x)f(x)除以(x−a)(x−a)所得的餘數等於f(a)f(a).

如f(x)=3x²+5x−7f(x)=3x²+5x−7除以(x+2)(x+2)，商式為3x−13x−1，餘數為−5−5

運用餘數定理可不用豎式除法或綜合除法直接算出餘式即為

f(−2)=3∗(−2)2+5∗(−2)−7=−5f(−2)=3∗(−2)2+5∗(−2)−7=−5

【證明】

記

f(x)=g(x)∗q(x)+r(x)f(x)=g(x)∗q(x)+r(x)

其中f(x)f(x)表示被除式，g(x)g(x)表示除式，q(x)q(x)表示商式，r(x)r(x)表示餘式.

因為g(x)=(x−a)g(x)=(x−a)的次數等於1，那麼餘式r(x)r(x)一定為常數，簡稱為餘數，記為rr，則有

f(x)=g(x)∗q(x)+rf(x)=g(x)∗q(x)+r

另其中x=ax=a可得，

f(x)=(x−a)∗q(x)+r=rf(x)=(x−a)∗q(x)+r=r

得證.

【因式定理】

根據餘數定理可得，如果多項式f(x)f(x)能被(x−a)(x−a)整除，即f(a)=0f(a)=0.

反之，如果f(a)=0f(a)=0，即(x−a)(x−a)必為f(x)f(x)的一個因式.

根據除法的定義及性質可知，被除數=除數×商+餘數。

設多項式



除以一次式



所得的商為



，餘數為



，根據上面的性質可以列出下列恆等式：



令



，代入上式即得



，因此得到結論：



除以



後的餘數



。

注意：若除式不為



的類型，依然可以利用上面的方法來求餘數（式），即先求出使除式為0的x的值，再代入恆等號兩邊。