一階泰勒公式：ln(1+x)，泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數在某一點的各階導數值做係數構建一個多項式來近似表達這個函數。

所有的函數都能夠泰勒展開，沒有條件。

泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠平滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數值之間的偏差。



擴展資料：

泰勒公式（Taylor's formula）推導：

帶peano餘項的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反復利用L'Hospital法則來推導，

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

泰勒中值定理（帶拉格郎日餘項的泰勒公式）：若函數f(x）在含有x的開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於(x-x0)多項式和一個餘項的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)

其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，這裡ξ在x和x0之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。

（注：f(n)(x0)是f(x0)的n階導數，不是f(n)與x0的相乘。）

使用Taylor公式的條件是：f(x)n階可導。其中o((x-x0)^n）表示比無窮小(x-x0)^n更高階的無窮小。

Taylor公式最典型的應用就是求任意函數的近似值。Taylor公式還可以求等價無窮小，證明不等式，求極限等