∫cos(lnx)dx的不定積分為1/2（x*cos(lnx)+x*sin(lnx)）+C。

解：令lnx=t，則x=e^t

∫cos(lnx)dx=∫costd(e^t)

=e^t*cost-∫e^tdcost

=e^t*cost+∫e^t*sintdt

=e^t*cost+∫sintd(e^t)

=e^t*cost+e^t*sint-∫e^tdsint

=e^t*cost+e^t*sint-∫e^t*costdt

=e^t*cost+e^t*sint-∫costd(e^t)

則，2∫costd(e^t)=e^t*cost+e^t*sint+C

得，∫costd(e^t)=1/2（e^t*cost+e^t*sint）+C

即，∫cos(lnx)dx=1/2（e^t*cost+e^t*sint）+C

=1/2（x*cos(lnx)+x*sin(lnx)）+C

擴展資料：

1、積分的求解：F（x）是函數f（x）的一個原函數，我們把函數f（x）的所有原函數F（x）+C（C為任意常數）叫做函數f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

2、常見的積分表公式有：∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫secx²dx=tanx+C、∫secxdx=ln|secx+tanx|+C、∫secxtanxdx=secx+C

3、分部積分法是微積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。它的主要原理是將不易直接求結果的積分形式，轉化為等價的易求出結果的積分形式的。

分部積分法的公式為：∫μ（x）v'（x）dx=∫μ（x）dv（x）=μ（x）*v（x）-∫v（x）dμ（x）