常用的因式分解公式

　　待定係數法(因式分解)

　　在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些係數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的係數.由於該多項式等於這幾個因式的乘積，根據多項式恆等的性質，兩邊對應項係數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關於待定係數的方程(或方程組)，解出待定字母係數的值，這種因式分解的方法叫作待定係數法.

　　求根法(因式分解)

　　我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關於x的一元多項式，並用f(x)，g(x)，…等記號表示，如 　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x) 　　f(1)=12-3×

　　我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關於x的一元多項式，並用f(x)，g(x)，…等記號表示，如

　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，

　　當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)

　　f(1)=12-3×1+2=0;

　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.

　　若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根.

　　定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a.

　　根據因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根.對於任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的係數都是整數時，即整係數多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根

1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。

3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7、三項完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8、三項立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

因式分解方法

1、提公因式法

如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。公因式可以是單項式，也可以是多項式。

具體方法：在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的係數有分數時，公因式係數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項為負，要提出負號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出負號時，多項式的各項都要變號。

基本步驟：

(1)找出公因式；

(2)提公因式並確定另一個因式；

①找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母；

②提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因 式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；

③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。

口訣：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。

2、公式法

如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用於分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。

3、十字相乘法

十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項。

口訣：分二次項，分常數項，交叉相乘求和得一次項。(拆兩頭，湊中間)

(1)用十字相乘法分解二次項，得到一個十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數項

f

分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的

ey

，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的

dx

．

(3)先以一個字母的一次係數分數常數項；

(4)再按另一個字母的一次係數進行檢驗；

(5)橫向相加，縱向相乘。

4、輪換對稱法

當題目為一個輪換對稱式時，可用輪換對稱法進行分解。

5、分組分解法

通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，這種分解因式的方法叫做分組分解法。能分組分解的多項式有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

6、拆添項法

把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項)，使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解,這種分解因式的方法叫做拆項補項法。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

7、配方法

對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種分解因式的方法叫做配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

把式子倒過來： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)² 就變成了因式分解。

因此，我們把用利用平方差公式和完全平方公式進行因式分解的方法稱之為公式法。 例：

1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)

2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)

3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²

4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²