直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊的映射和斜邊的比例中項。

直角三角形比例中項定理如果直角三角形一個角為3O度則所對的邊是斜邊的1/2，如果直角三角形為等腰直角三角形則斜角為45二歲

因為直徑的圓周角為直角,90°的圓周角所對的弦是直徑,∴圓內接直角三角形的條件：一邊為直徑.所以說不是任意的三角形都是直角三角形

設三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c（也就是圓的直徑），S為三角形的面積

由勾股定理：a^2+b^2=c^2

所求量的平方=（a+b）^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2ab=c^2+4S

其中c為定值，要求所求量取最大值，即S要取最大值

S也等於二分之一圓的直徑乘以直角頂點到對邊的距離，距離越大S也越大，顯然頂點到對邊的垂足過圓心時最大，此時為等腰直角三角形

圓是一個軸對稱的圖形，同樣，它也是一個中心對稱的圖形。在幾何問題中，圓經常與其他圖形結合成為考題，譬如圓與直角三角形問題。

圓中有很多垂直條件，比如直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理可以得垂直，圓心和切點的連線與切線垂直，由此又可得到與直角三角形有關的性質，所以圓由於它的垂直條件，會經常和三角函數聯繫在一起，用三角函數來解決這些與圓有關的計算問題。

在同圓或等圓內，三角形的三個頂點均在同一個圓上的三角形叫做圓內接三角形。

性質

1.在同圓內，等邊三角形將圓分成相等的三段弧。三角形的三個頂點為圓的三等分點。

2.三角形的一個角等於它所對的邊與圓心相連所形成的夾角的一半

定理

三角形各邊垂直平分線的交點，是外心。外心到三角形各頂點的距離相等。外心到三角形各邊的垂線平分各邊。

直徑的圓周腳是直角

既然過直徑和圓上任意一點

那麼這個三角形一定是直角三角形