正弦信號、餘弦信號與復指數信號（歐拉公式）

生活中不存在複數，但是《信號與系統》《數字信號處理》偏偏離不開復指數 e(jwt)，這就涉及到復指數在推導和運算時的一些重要性質，以及其與正弦餘弦信號的關系。

1. 可用復指數信號表示正弦/餘弦信號

當指數信號的指數因子是複數時，稱之為復指數信號。其表達式為 f(t)=Kest,s=σ+jw。

根據歐拉公式，一個復指數信號可以分為實部和虛部兩部分（eiθ=cosθ+isinθ）。實部包含餘弦信號，虛部則是正弦信號。

{eiθ=cosθ+isinθe−iθ=cosθ−isinθ⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosθ=eiθ+e−iθ2sinθ=eiθ−e−iθ2i

且有：

|ejwt|=cos2+sin2=1

2. 復指數信號

如果我們對一個系統輸入復指數信號，輸出必定也是復指數信號，根據複數相等實部實部相等、虛部虛部相等的原則，那麼輸出的實部與輸入的實部：cos（wt）相對應；輸出的虛部與輸入的虛部：sin(wt)相對應。

這有一個好處：輸入一個復指數函數就同時解決了系統輸出的振幅和相位的問題：因為輸出的振幅等於響應實部的平方與虛部的平方和的開方；而輸出的相位等於響應虛部與實部的比值的反正切。對於線性控制系統輸入是正弦的輸出也是正弦的，且週期不變。

a^m+n=a^m∙a^n；（2）a^mn=(a^m)^n；（3）a^1/n=^n√a；（4）a^m-n=a^m/a^n。



指數函數運算法則公式

　　指數函數運算法則公式:（1）a^m+n=a^m∙a^n；（2）a^mn=(a^m)^n；（3）a^1/n=^n√a；（4）a^m-n=a^m/a^n。

　　指數函數是重要的基本初等函數之一。

　　一般地，y=a^x函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是R。

　　注意，在指數函數的定義表達式中，在a^x前的係數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數。

　　指數函數的定義域為R，這裡的前提是a大於0且不等於1。

　　對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等於0函數無意義一般也不考慮。